Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пусть функция h
n
(t, s) ∈ C([−1, 1]
2
) является полиномом из IH
n
по переменной t
таким, что h − h
n
∞
= E
T
n
(h)
∞
.Тогда
E
n
(Hx
∗
)
∞
≤Hhx
∗
− Hh
n
x
∗
∞
= H[h − h
n
]x
∗
∞
≤
≤h −h
n
C×L
2,1/ρ
·x
∗
2,ρ
≤
π
2
h − h
n
∞
·x
∗
2,ρ
=
π
2
E
T
n
(h)
∞
·x
∗
2,ρ
.
Тогда, с учетом (3.10), имеем
E
n
(x
∗
)
∞
≤ E
n
(y)
∞
+
π
2
x
∗
2,ρ
· E
T
n
(h)
∞
.
Далее, в условиях следствия точное решение x
∗
(t) удовлетворяет условию Дини–
Липшица. Поэтому из оценки (3.9) следует равномерная сходимость приближенных
решений к точному.
Замечание. Полученные в следствии 2 теоремы 3.1 и следствии теоремы 3.2
оценки погрешности приближенных решений в пространствах L
2,ρ
и C[−1, 1] соот-
ветственно не могут быть улучшены по порядку.
3.2. Метод наименьших квадратов. Приближенное решение уравнения (3.1)
будем по–прежнему искать в виде алгебраического многочлена (3.2), а неизвестные
коэффициенты {c
k
} определим из условия минимальности невязки приближенного
решения по норме пространства L
2,ρ
:
+1
−1
ρ(t)|Kx
n
(t) − y(t)|
2
dt =min. (3.11)
Это условие дает СЛАУ (n +1)–го порядка относительно n +1коэффициентов c
k
полинома (3.2):
n
k=0
α
kj
c
k
= y
j
,j= 0,n, (3.12)
где
α
kj
=
+1
−1
ρ(t)K(t
k
)K(t
j
) dt, y
j
=
+1
−1
ρ(t)y(t)K(t
j
) dt. (3.13)
Для вычислительной схемы метода наименьших квадратов (3.1), (3.2), (3.12)–
(3.13) справедливы следующие результаты.
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
2,ρ
(−1, 1);
2) оператор H : L
2,ρ
−→ L
2,ρ
ограничен;
3) уравнение (3.1) имеет единственное решение при данной правой части y ∈
L
2,ρ
.
Тогда СЛАУ (3.12)–(3.13) для всех натуральных n также имеет единственное
решение {c
∗
k
}. Приближенные решения x
∗
n
(t), построенные по формуле (3.2) при c
k
=
41
Пусть функция hn (t, s) ∈ C([−1, 1]2 ) является полиномом из IH n по переменной t
таким, что h − hn ∞ = EnT (h)∞ . Тогда

                  En (Hx∗ )∞ ≤ Hhx∗ − Hhn x∗ ∞ = H[h − hn ]x∗ ∞ ≤
                                                                 
                               ∗         π                ∗         π T
       ≤ h − hn C×L2,1/ρ · x 2,ρ ≤     h − hn ∞ · x 2,ρ =     En (h)∞ · x∗ 2,ρ .
                                         2                          2
Тогда, с учетом (3.10), имеем
                                                          
                                    ∗                         π ∗
                             En (x )∞ ≤ En (y)∞ +              x 2,ρ · EnT (h)∞ .
                                                              2

   Далее, в условиях следствия точное решение x∗ (t) удовлетворяет условию Дини–
Липшица. Поэтому из оценки (3.9) следует равномерная сходимость приближенных
решений к точному.
   Замечание. Полученные в следствии 2 теоремы 3.1 и следствии теоремы 3.2
оценки погрешности приближенных решений в пространствах L2,ρ и C[−1, 1] соот-
ветственно не могут быть улучшены по порядку.

   3.2. Метод наименьших квадратов. Приближенное решение уравнения (3.1)
будем по–прежнему искать в виде алгебраического многочлена (3.2), а неизвестные
коэффициенты {ck } определим из условия минимальности невязки приближенного
решения по норме пространства L2,ρ :
                                        +1
                                           ρ(t)|Kxn (t) − y(t)|2 dt = min .             (3.11)
                                    −1

Это условие дает СЛАУ (n + 1)–го порядка относительно n + 1 коэффициентов ck
полинома (3.2):
                           n
                               αkj ck = yj , j = 0, n,                (3.12)
                                            k=0
где
                              +1                       +1
                      αkj    = ρ(t)K(tk )K(tj ) dt, yj = ρ(t)y(t)K(tj ) dt.             (3.13)
                               −1                                −1

    Для вычислительной схемы метода наименьших квадратов (3.1), (3.2), (3.12)–
(3.13) справедливы следующие результаты.

      Теорема 3.3. Пусть выполнены условия:
      1) y ∈ L2,ρ (−1, 1);
      2) оператор H : L2,ρ −→ L2,ρ ограничен;
    3) уравнение (3.1) имеет единственное решение при данной правой части y ∈
L2,ρ .
   Тогда СЛАУ (3.12)–(3.13) для всех натуральных n также имеет единственное
решение {c∗k }. Приближенные решения x∗n (t), построенные по формуле (3.2) при ck =

                                                        41

Страницы