Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
2,ρ
,гдеr ≥ 0 –
целое, а 0 <γ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Теорема 3.6. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C[−1, 1];
2) ядро h(t, s) таково, что соответствующий интегральный оператор H : L
2,ρ
−→
L
2,ρ
вполне непрерывен, а H : L
2,ρ
−→ C ограничен, где ρ(t)=
√
1 −t
2
;
3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь три-
виальное решение;
4) точки t
j
заданы формулой (3.19).
Тогда при всех n, начиная хоты бы с некоторого натурального n
0
, СЛАУ (3.17)–
(3.18) имеет единственное решение {c
∗
k
}. Для погрешности приближенных решений
в пространстве C[−1, 1] справедлива следующая порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln nE
n
(x
∗
)
∞
}. (3.21)
Если h(t, s) непрерывна по совокупности переменных, то погрешность приближен-
ных решений в пространстве C[−1, 1] характеризуется соотношением
x
∗
− x
∗
n
∞
= O{ln n[E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞
]}. (3.21
)
Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x
∗
n
(t) сходятся равномерно к точ-
ному решению x
∗
(t) со скоростью (3.21). В частности, при y ∈ W
r
H
γ
,h ∈ W
r
H
γ
(по
t), где r ≥ 0 – целое, 0 <γ≤ 1, скорость равномерной сходимости приближенных
решений к точному определяется формулой
x
∗
− x
∗
n
∞
= O
ln n
n
r+γ
,r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Теорема 3.7. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ L
1
(−1, 1);
2) ядро h(t, s) таково, что соответствующий интегральный оператор H : L
!
−→
L
1
вполне непрерывен;
3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь три-
виальное решение;
4) точки t
j
заданы формулой (3.19).
Тогда при всех n, начиная хотя бы с некоторого натурального n
0
, СЛАУ (3.17)–
(3.18) имеет единственное решение {c
∗
k
}. Для погрешности приближенных решений
в пространстве L
1
(−1, 1) справедлива следующая порядковая оценка
x
∗
− x
∗
n
1
= O{ln nE
n
(x
∗
)
1
}. (3.22)
44
   Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ W r H2,ργ
                                                                       , где r ≥ 0 –
целое, а 0 < γ ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
                      x∗ − x∗n L2,ρ = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.

   Теорема 3.6. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1];
    2) ядро h(t, s) таково, что соответствующий интегральный√оператор H : L2,ρ −→
L2,ρ вполне непрерывен, а H : L2,ρ −→ C ограничен, где ρ(t) = 1 − t2 ;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь три-
виальное решение;
   4) точки tj заданы формулой (3.19).
    Тогда при всех n, начиная хоты бы с некоторого натурального n0 , СЛАУ (3.17)–
(3.18) имеет единственное решение {c∗k }. Для погрешности приближенных решений
в пространстве C[−1, 1] справедлива следующая порядковая оценка

                             x∗ − x∗n ∞ = O{ln nEn (x∗ )∞ }.                 (3.21)

Если h(t, s) непрерывна по совокупности переменных, то погрешность приближен-
ных решений в пространстве C[−1, 1] характеризуется соотношением

                        x∗ − x∗n ∞ = O{ln n[En (y)∞ + EnT (h)∞ ]}.          (3.21 )


    Следствие. Пусть функции y(t) и h(t, s) (по переменной t) удовлетворяют усло-
вию Дини–Липшица. Тогда приближенные решения x∗n (t) сходятся равномерно к точ-
ному решению x∗ (t) со скоростью (3.21). В частности, при y ∈ W r Hγ , h ∈ W r Hγ (по
t), где r ≥ 0 – целое, 0 < γ ≤ 1, скорость равномерной сходимости приближенных
решений к точному определяется формулой
                                      ln n 
                         ∗   ∗
                      x − xn ∞ = O r+γ , r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.
                                      n

   Теорема 3.7. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ L1 (−1, 1);
   2) ядро h(t, s) таково, что соответствующий интегральный оператор H : L! −→
L1 вполне непрерывен;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь три-
виальное решение;
   4) точки tj заданы формулой (3.19).
    Тогда при всех n, начиная хотя бы с некоторого натурального n0 , СЛАУ (3.17)–
(3.18) имеет единственное решение {c∗k }. Для погрешности приближенных решений
в пространстве L1 (−1, 1) справедлива следующая порядковая оценка

                              x∗ − x∗n 1 = O{ln nEn (x∗ )1 }.                (3.22)

                                             44

Страницы