Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Метод коллокации. На сегменте [−1, 1] выберем систему из n +1 точек
t
k
,k = 0,n. Приближенное решение уравнения (3.1) будем искать в виде многочлена
(3.2), а неизвестные коэффициенты {c
k
} определим из условий
[Kx
n
− y](t
j
)=0,j= 0,n. (3.22)
Условия (3.22) дают СЛАУ (n +1)–го порядка вида (3.17), где
α
kj
= K(t
k
; t
j
),y
j
= y(t
j
). (3.23)
Для вычислительной схемы метода коллокации (3.1), (3.2), (3.17), (3.23) имеет
место
Теорема 3.7. Пусть выполнены условия:
1) y ∈ C[−1, 1];
2) ядро h ∈ C[−1, 1] × L
2,1/ρ
,ρ(t)=1/
√
1 − t
2
;
3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь нуле-
вое решение;
4) узлы {t
j
} определены по любой из формул
а) t
j
= −cos
(2j +1)π
2n +2
,j=
0,n; б) t
j
= −cos
jπ
n
,j=
0,n. (3.24)
Тогда СЛАУ (3.17), (3.23) также имеет единственное решение {c
∗
k
} хотя бы
при всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x
∗
n
(t),по-
строенные по формуле (3.2) при c
k
= c
∗
k
,k = 0,n, сходятся к точному решению
x
∗
(t) уравнения (3.1) в пространстве L
2,ρ
со скоростью, определяемой любым из
порядковых соотношений:
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(x
∗
)
∞
}. (3.25)
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞;2,ρ
}. (3.26)
Следствие 1. Если h(t, s) ∈ C([−1, 1]
2
), то скорость сходимости может быть
охарактеризована порядковым соотношением
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O{E
n
(y)
∞
+ E
T
n
(h)
∞
}.
Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x
∗
∈ W
r
H
γ
,гдеr ≥ 0 –
целое, а 0 <γ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
x
∗
− x
∗
n
L
2,ρ
= O(n
−r−γ
),r≥ 0, 0 <γ≤ 1.
Доказательство. В пространстве X = Y = L
2,ρ
уравнение (3.1) запишем в виде
операторного уравнения (3.6), где оператор K, как и в методе Галеркина, в простран-
стве X имеет ограниченный обратный K
−1
.
46
     3.4. Метод коллокации. На сегменте [−1, 1] выберем систему из n + 1 точек
tk , k = 0, n. Приближенное решение уравнения (3.1) будем искать в виде многочлена
(3.2), а неизвестные коэффициенты {ck } определим из условий

                                 [Kxn − y](tj ) = 0, j = 0, n.                (3.22)

Условия (3.22) дают СЛАУ (n + 1)–го порядка вида (3.17), где

                                 αkj = K(tk ; tj ), yj = y(tj ).              (3.23)

   Для вычислительной схемы метода коллокации (3.1), (3.2), (3.17), (3.23) имеет
место

   Теорема 3.7. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1];
                                            √
   2) ядро h ∈ C[−1, 1] × L2,1/ρ , ρ(t) = 1/ 1 − t2 ;
   3) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3.1), имеет лишь нуле-
вое решение;
   4) узлы {tj } определены по любой из формул

                   (2j + 1)π                                 jπ
   а) tj = − cos             , j = 0, n;     б) tj = − cos      , j = 0, n.   (3.24)
                    2n + 2                                    n

    Тогда СЛАУ (3.17), (3.23) также имеет единственное решение {c∗k } хотя бы
при всех достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x∗n (t), по-
строенные по формуле (3.2) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся к точному решению
x∗ (t) уравнения (3.1) в пространстве L2,ρ со скоростью, определяемой любым из
порядковых соотношений:

                                x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (x∗ )∞ }.              (3.25)

                         x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (y)∞ + EnT (h)∞;2,ρ }.        (3.26)

   Следствие 1. Если h(t, s) ∈ C([−1, 1]2 ), то скорость сходимости может быть
охарактеризована порядковым соотношением

                           x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (y)∞ + EnT (h)∞ }.


   Следствие 2. Пусть функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ W r Hγ , где r ≥ 0 –
целое, а 0 < γ ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
                      x∗ − x∗n L2,ρ = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.

   Доказательство. В пространстве X = Y = L2,ρ уравнение (3.1) запишем в виде
операторного уравнения (3.6), где оператор K, как и в методе Галеркина, в простран-
стве X имеет ограниченный обратный K −1 .

                                               46

Страницы