Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Первое слагаемое в (3.41) оценивается просто:
I
1
≤ 2P
n
C
2π
→C
2π
E
n
(x
∗
)
∞
= O{ln n · E
n
(x
∗
)
∞
}. (3.42)
Оценку второго слагаемого I
2
будем проводить, исходя из уравнений (3.6) и (3.36):
I
2
= P
n
Hx
∗
− P
n
H(P
s
n
h)x
∗
n
∞
= O(ln n) ·Hx
∗
− (P
s
n
h)x
∗
n
∞
. (3.43)
Но
Hx
∗
− H(P
s
n
h)x
∗
n
∞
≤H(
h − P
s
n
h)x
∗
∞
+ H(P
s
n
h)(x
∗
− x
∗
n
)
∞
≤
≤
√
π
h − P
s
n
h
∞;2,1/ρ
x
∗
2,ρ
+ P
s
n
h
∞;2,1/ρ
·x
∗
− x
∗
n
2,ρ
=
= O{E
s
n
(
h)
∞
+ x
∗
− x
∗
n
2,ρ
}.
Последнее соотношение позволяет продолжить оценку (3.43):
I
2
= O{ln n [E
s
n
(
h)
∞
+ x
∗
− x
∗
n
2,ρ
]}. (3.44)
Из (3.41), (3.42), (3.44) и теоремы 3.11 вытекает утверждение теоремы 3.13.
Замечания. 1. Если ядро h(t, s) интегрального оператора уравнения (3.1) имеет
вид
h(t, s)=
h
0
(t, s)
√
1 − s
2
,
то все теоремы, касающиеся метода механических квадратур, остаются в силе, при-
чем в оценках вместо h(t, s) и
h(t, s) можно брать функцию h
0
(t, s).
2. Аналогичные утверждения можно доказать для метода механических квад-
ратур, построенного на основе квадратурной формулы наивысшей алгебраической
степени точности, т.е. квадратурной формулы вида
+1
−1
ρ(t)z(t) dt ≈
n
k=0
A
k
z(t
k
),
где {t
k
}
n
0
– нули многочлена степени n из системы многочленов, ортогональных на
[−1, 1] с весом ρ(t).
§4. Прямые методы решения
интегральных уравнений Вольтерра
В этом параграфе кратко рассматриваются вопросы обоснования полиномиаль-
ных прямых методов решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для
определенности рассмотрим интегральное уравнение вида
Kx ≡ x(t)+
t
−1
h(t, s) ds = y(t), −1 ≤ t ≤ 1, (4.1)
где h(t, s) и y(t) – известные, а x(t) – искомая функции.
52
Первое слагаемое в (3.41) оценивается просто:

                    I1 ≤ 2Pn C2π →C2π En (x∗ )∞ = O{ln n · En (x∗ )∞ }.             (3.42)

Оценку второго слагаемого I2 будем проводить, исходя из уравнений (3.6) и (3.36):

             I2 = Pn Hx∗ − Pn H(Pns
                                    h)x∗n ∞ = O(ln n) · Hx∗ − (Pns
                                                                    h)x∗n ∞ .        (3.43)

Но
                      h)x∗n ∞ ≤ H(
          Hx∗ − H(Pns                h − Pnsh)x∗ ∞ + H(Pns  h)(x∗ − x∗n )∞ ≤
               √
             ≤ π h − Pnsh∞;2,1/ρ x∗ 2,ρ + Pns
                                                    h∞;2,1/ρ · x∗ − x∗n 2,ρ =

                              = O{Ens (
                                       h)∞ + x∗ − x∗n 2,ρ }.
Последнее соотношение позволяет продолжить оценку (3.43):

                          I2 = O{ln n [Ens (
                                            h)∞ + x∗ − x∗n 2,ρ ]}.                  (3.44)

     Из (3.41), (3.42), (3.44) и теоремы 3.11 вытекает утверждение теоремы 3.13.
   Замечания. 1. Если ядро h(t, s) интегрального оператора уравнения (3.1) имеет
вид
                                            h0 (t, s)
                                  h(t, s) = √         ,
                                              1 − s2
то все теоремы, касающиеся метода механических квадратур, остаются в силе, при-
чем в оценках вместо h(t, s) и 
                               h(t, s) можно брать функцию h0 (t, s).
   2. Аналогичные утверждения можно доказать для метода механических квад-
ратур, построенного на основе квадратурной формулы наивысшей алгебраической
степени точности, т.е. квадратурной формулы вида

                               +1              
                                                n
                                  ρ(t)z(t) dt ≈   Ak z(tk ),
                               −1                  k=0


где {tk }n0 – нули многочлена степени n из системы многочленов, ортогональных на
[−1, 1] с весом ρ(t).
                          §4. Прямые методы решения
                       интегральных уравнений Вольтерра

   В этом параграфе кратко рассматриваются вопросы обоснования полиномиаль-
ных прямых методов решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для
определенности рассмотрим интегральное уравнение вида
                                    t
                      Kx ≡ x(t) +        h(t, s) ds = y(t), −1 ≤ t ≤ 1,                (4.1)
                                    −1


где h(t, s) и y(t) – известные, а x(t) – искомая функции.


                                              52

Страницы