Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р. - 56 стр.

   Теорема 4.5. Пусть выполнены условия:
   1) y ∈ C[−1, 1];
                                            √
   2) ядро h ∈ C[−1, 1] × L2,1/ρ , ρ(t) = 1/ 1 − t2 ;
   3) точки {tj } заданы одной из формул (3.24).
    Тогда СЛАУ (3.17), (4.13) имеет единственное решение {c∗k }, хотя бы при всех
достаточно больших натуральных n. Приближенные решения x∗n (t), построенные
по формуле (4.2) при ck = c∗k , k = 0, n, сходятся к точному решению x∗ (t) уравнения
(4.1) в пространстве L2,ρ со скоростью

                              x∗ − x∗n L2,ρ = O{En (x∗ )∞ }.                 (4.14)


   Следствие. Пусть функции y и h таковы, что решение x∗ ∈ W r Hγ , где r ≥ 0 –
целое, 0 < γ ≤ 1. Тогда для погрешности приближенных решений верна порядковая
оценка
                     x∗ − x∗n L2,ρ = O(n−r−γ ), r ≥ 0, 0 < γ ≤ 1.


  Теорема 4.6. В условиях теоремы 4.5 приближенные решения x∗n (t) сходятся к
точному решению x∗ (t) в узлах коллокации (3.24) с быстротой

                          max |x∗ (tk ) − x∗n (tk )| = O(En (x∗ )2,ρ ).        (4.15)
                         0≤k≤n



   Теорема 4.7. В условиях теоремы 4.5 для погрешности приближенных решений
к точному в пространстве C[−1, 1] справедливо порядковое соотношение:

                             x∗ − x∗n ∞ = O{ln n En (x∗ )∞ }.                (4.16)


   Теорема 4.8. Пусть, в условиях теоремы 4.5, функции y(t) и h(t, s) (по пере-
менной t) удовлетворяют условию Дини–Липшица.
    Тогда приближенные решения x∗n (t) равномерно сходятся к точному решению
x∗ (t), при этом скорость сходимости определяется порядковым соотношением (4.16).

    Доказательство теорем 4.1–4.8. Пусть X = L2,ρ , Xn = IH n ⊂ X. Уравнение
(4.1) запишем в операторной форме

                             Kx ≡ x + Hx = y          (x, y ∈ X)               (4.17)

Заметим, что в условиях теоремы 4.1 уравнение (4.17) в пространстве X = L2,ρ (−1, 1)
является уравнением второго рода с вполне непрерывным оператором, и, следова-
тельно, для него имеет место теория Фредгольма. С другой стороны, уравнение
Вольтерра всегда имеет единственное решение при любой правой части. Поэтому
в пространстве X оператор K уравнения (4.1) непрерывно обратим. Далее, в под-
пространстве Xn СЛАУ (4.3)–(4.4) эквивалентна операторному уравнению

                        Kn xn ≡ xn + Pn Hxn = Pn y         (xn ∈ Xn ),         (4.18)

                                              56