Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z = x + iy, x y i =
√
−1
i
2
= −1 x
x = Re z, y
y = Im z
C
R y = 0 z = x
z = x + iy
z 0 x = 0 y = 0
z = x − iy z
z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
.
z
1
= z
2
⇐⇒ x
1
= x
2
, y
1
= y
2
z
1
, z
2
z
1
+ z
2
= x
1
+ x
2
+ i(y
1
+ y
2
)
z
1
− z
2
= x
1
− x
2
+ i(y
1
− y
2
)
i
2
= −1 z
1
z
2
= (x
1
+ iy
1
)(x
2
+ iy
2
) = x
1
x
2
+ iy
1
x
2
+ ix
1
y
2
+
i
2
y
1
y
2
= x
1
x
2
− y
1
y
2
+ i(y
1
x
2
+ x
1
y
2
).
zz = x
2
+ y
2
z
1
z
2
=
z
1
z
2
z
2
z
2
=
1
z
2
z
2
z
1
z
2
=
1
x
2
2
+y
2
2
z
1
z
2
z
1
= 2 −3i, z
2
= 1 + i
z
1
+ z
2
= 2 − 3i + 1 + i = 3 − 2i z
1
− z
2
= 2 − 3i − 1 − i = 1 − 4i
z
1
z
2
= (2 − 3i)(1 + i) = 2 − 3i + 2i − 3i
2
= 5 − i
                                         ÒÅÌÀ 1
              ÏÎÍßÒÈÅ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ.
        ÄÅÉÑÒÂÈß ÍÀÄ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÛÌÈ ×ÈÑËÀÌÈ
       Îïðåäåëåíèå. Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäà
                                                                                  √
z = x + iy, ãäå x è y  âåùåñòâåííûå ÷èñëà, à i =                                     −1  òàê íàçûâà-
åìàÿ ìíèìàÿ åäèíèöà, i2 = −1 . ×èñëî x íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé èëè
äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà è îáîçíà÷àåòñÿ x = Re z, y
íàçûâàåòñÿ ìíèìîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà è îáîçíà÷àåòñÿ y = Im z .
       Îáîçíà÷åíèå Re ïðîèçîøëî îò ëàòèíñêîãî ñëîâà realis  äåéñòâèòåëü-
íûé, à Im  îò imaginarius (ìíèìûé).
       Ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë C â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà ñîäåðæèò
ìíîæåñòâî R âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ò.ê. ïðè y = 0 ïîëó÷èì z = x .
       Ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = x + iy íàçûâàåòñÿ åãî äåêàðòîâîé ôîð-
ìîé.
       ×èñëî z ðàâíî 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = 0 è y = 0 .
       ×èñëî z = x − iy íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûì ñ z .
       Ïóñòü z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .
       Ïî îïðåäåëåíèþ: ðàâåíñòâî z1 = z2 ⇐⇒ x1 = x2 , y1 = y2 .
       Ðàññìîòðèì äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè z1 , z2 :
       ñóììà z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2 ) ,
       ðàçíîñòü z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ) ,
       ïðîèçâåäåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ââîäèòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå äâó÷ëåíîâ
ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî i2 = −1 : z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + iy1 x2 + ix1 y2 +
i2 y1 y2 = x1 x2 − y1 y2 + i(y1 x2 + x1 y2 ).
       Íàïðèìåð, zz = x2 + y 2  âåùåñòâåííîå ÷èñëî.
                                            z1       z1 z 2         1                     1
       Äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:           z2   =   z2 z 2   =   z2 z 2 z1 z 2   =           zz ,
                                                                                      x22 +y22 1 2
                                                                                                     ò.å. äåëå-
íèå ñâåëîñü ê ïðîèçâåäåíèþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
       Ïðèìåðû. 1) Ïóñòü z1 = 2 − 3i, z2 = 1 + i . Òîãäà èìååì
       z1 + z2 = 2 − 3i + 1 + i = 3 − 2i , z1 − z2 = 2 − 3i − 1 − i = 1 − 4i ,
       z1 z2 = (2 − 3i)(1 + i) = 2 − 3i + 2i − 3i2 = 5 − i ,


                                                 3

Страницы