Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z
z
1
= 1 − 2i, z
2
= −3 − 4i, z
3
= 2i, z
4
= −
√
3 + i, z
5
= 3, z
6
= −8,
z
7
= −5i, z
8
= 3 + 4i.
z
1
± z
2
1) z
1
= −1 + 3i, z
2
= 2 + 4i, 2) z
1
= 3 − 2i, z
2
= −1 + 5i,
3) z
1
= 2i, z
2
= 1 + i, 4) z
1
= 2 − i, z
2
= 5i,
1) (3 − 2i)
2
, 2) (1 + i)
3
, 3) i
2011
, 4) (−i)
2012
.
1) x
2
+ 25 = 0, 2) x
2
+ 49 = 0,
3) x
2
− 2x + 5 = 0, 4) x
2
+ 4x + 13 = 0,
5) x
2
− 4x + 7 = 0, 6) x
2
− 2x + 2 = 0.
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ z = r (cos ϕ + i sin ϕ)
e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ
z = re
iϕ
r ϕ z
r = |z| ϕ = Arg z
                                    ÇÀÄÀ×È
       1 Èçîáðàçèòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûå ÷èñëà z è ñî-
ïðÿæåííûå ê íèì:
                                                √
      z1 = 1 − 2i, z2 = −3 − 4i, z3 = 2i, z4 = − 3 + i, z5 = 3, z6 = −8,
z7 = −5i, z8 = 3 + 4i.
       2 Âûïîëíèòü àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè
(ñ ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé z1 ± z2 ).

      1) z1 = −1 + 3i, z2 = 2 + 4i, 2) z1 = 3 − 2i, z2 = −1 + 5i,
      3) z1 = 2i, z2 = 1 + i, 4) z1 = 2 − i, z2 = 5i,
       3 Âû÷èñëèòü:
      1) (3 − 2i)2 , 2) (1 + i)3 , 3) i2011 , 4) (−i)2012 .

       4 Ðåøèòü óðàâíåíèÿ:
      1) x2 + 25 = 0, 2) x2 + 49 = 0,
      3) x2 − 2x + 5 = 0, 4) x2 + 4x + 13 = 0,
      5) x2 − 4x + 7 = 0, 6) x2 − 2x + 2 = 0.

                                        ÒÅÌÀ 2
   ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÀß ÔÎÐÌÀ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ.
   ËÈÍÈÈ È ÎÁËÀÑÒÈ ÍÀ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÉ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
      Óìíîæåíèþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íå ñîîòâåòñòâóþò íè ñêàëÿðíîå, íè
âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ. ×òîáû âûÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíà-
òàì x = r cos ϕ, y = r sin ϕ . Òîãäà z = r (cos ϕ + i sin ϕ) . Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé. Åñëè âîñïîëüçîâàòü-
ñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà (åå äîêàçàòåëüñòâî äàåòñÿ â ðàçäåëå "×èñëîâûå ðÿäû")
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ , òî ïîëó÷èì ïîêàçàòåëüíóþ ôîðìó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
z = reiϕ .
      Ïîëÿðíûå ðàäèóñ r è óãîë ϕ äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z íàçûâàþòñÿ:
r = |z|  ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, ϕ = Arg z  àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî


                                            5

Страницы