Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z
6
-
x
y
©
©
©
©*
z = x + iy
r
ϕ
p
p
p
p
p
p
p
pppppppppppppp
Arg z z
2π z = 0
arg z
−π < argz ≤ π Argz = argz + 2kπ
k = 0, ±1, ±2, ...
z = x + iy |z| argz |z| =
p
x
2
+ y
2
tgϕ =
y
x
argz = arctg
y
x
z
argz = arctg
y
x
+ π z argz = arctg
y
x
− π z
argz = π/2 −π/2) x = 0, y > 0
y < 0).
z = −2 + 3i
r =
√
4 + 9 =
√
13, tg ϕ = −3/2. z
ϕ = −arctg(3/2) + π z =
√
13 e
[−arctg(3/2)+π]i
.
z
1
= r
1
e
iϕ
1
z
2
= r
2
e
iϕ
2
z
1
= z
2
⇐⇒ r
1
= r
2
, ϕ
1
= ϕ
2
+ 2πk, k ∈ Z. (1)
z
1
z
2
= r
1
e
iϕ
1
r
2
e
iϕ
2
= r
1
r
2
e
i(ϕ
1
+ϕ
2
)
e
x
1
e
x
2
= e
x
1
+x
2
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i(ϕ
1
−ϕ
2
)
.
z
1
z
2
z
1
z
2
÷èñëà z .
                           p p p p p p p p p pz©
                           6                   p p p=
                                               *    pp      x + iy
                                 r      ©            pp y
                                                      p
                           © ϕ pp-
                                 ©
                       0              x


       Arg z ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèåé. Åå çíà÷åíèÿ äëÿ äàííîãî z
îòëè÷àþòñÿ îäíî îò äðóãîãî íà öåëîå êðàòíîå 2π . Äëÿ z = 0 àðãóìåíò íå
îïðåäåëåí. Îáû÷íî èñïîëüçóþò ãäàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà arg z , îïðåäåëÿ-
åìîå äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì −π < argz ≤ π . Òîãäà Argz = argz + 2kπ ,
ãäå k = 0, ±1, ±2, ... .
                                                                                    p
       Åñëè z = x + iy , òî íàéòè |z| è argz ìîæíî òàê: |z| =                           x2 + y 2 ,
tgϕ = yx , îòêóäà argz = arctg xy , åñëè z â ïåðâîé èëè ÷åòâeðòîé ÷åòâåðòÿõ;
argz = arctg xy + π , åñëè z âî âòîðîé ÷åòâåðòè, argz = arctg xy − π , åñëè z â
òðåòüåé ÷åòâåðòè. Çàìåòèì, ÷òî argz = π/2 (èëè −π/2) , åñëè x = 0, y > 0
(èëè y < 0).
       Ïðèìåð.         Ïðåäñòàâèòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî                     z = −2 + 3i â ïî-
êàçàòåëüíîé ôîðìå.
                           √                                  √
       Çäåñü r =            13, tg ϕ = −3/2. Îòñþäà, ò.ê. z íàõîäèòñÿ âî
                                  4+9 =
                                                     √
âòîðîé ÷åòâåðòè, òî ϕ = −arctg(3/2) + π . Ïîýòîìó z = 13 e[−arctg(3/2)+π]i .
       Ïóñòü z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 . Òîãäà

                            z1 = z2 ⇐⇒ r1 = r2 , ϕ1 = ϕ2 + 2πk, k ∈ Z.                        (1)

z1 z2 = r1 eiϕ1 r2 eiϕ2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 )
       ( Çäåñü ìû ïîñòóïèëè ïî àíàëîãèè ñ äåéñòâèåì óìíîæåíèÿ äâóõ çíà-
÷åíèé ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî: ex1 ex2 = ex1 +x2 .
Ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðàâåíñòâà ïîëó÷èòñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìó êîìïëåêñíûõ ÷èñåë).
       Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì
       z1       r1 i(ϕ1 −ϕ2 )
       z2   =   r2 e          .
       Èòàê, ó ïðîèçâåäåíèÿ z1 z2 ìîäóëü ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé, à àð-
                                                                         z1
ãóìåíò  ñóììå àðãóìåíòîâ ñîìíîæèòåëåé. Ó ÷àñòíîãî                       z2   ìîäóëü ðàâåí îò-

                                                                     6

Страницы