Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z
1
z
2
=
2−3i
1+i
=
(2−3i)(1−i)
(1+i)(1−i)
=
−1−5i
2
= −
1
2
−
5
2
i
x
2
− 4x + 13 = 0.
x
1,2
= 2 ±
√
4 − 13 = 2 ±
√
−9 = 2 ±
√
9
√
−1 = 2 ± 3i
D < 0, x
2
= x
1
,
(x − x
1
)(x − x
2
) = (x − 2 − 3i)(x − 2 + 3i) = x
2
− 4x + 13.
(x, y).
z
−→
oz = {x, y}
z. ox
oy
z = x ox, z = iy
oy.
6
-x
iy
©
©
©*
z = x + iy
H
H
Hj
z = x −iy
−iy
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
ppppppppppp
ppppppppppp
−→
oz
1
= {x
1
, y
1
}
−→
oz
2
= {x
2
, y
2
}
−→
oz
1
±
−→
oz
2
= {x
1
± x
2
, y
1
± y
2
},
z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
6
-x
y
©
©
©*
z
1
z
2
©
©
©
¢
¢
¢¸
¢
¢
¢
¡
¡
¡
¡
¡µ
z
1
+ z
2
6
-x
y
©
©
©*
z
1
z
2
¢
¢
¢¸
z
1
− z
2
J
J^
J
J^
      z1       2−3i        (2−3i)(1−i)                −1−5i
      z2   =    1+i   =     (1+i)(1−i)            =     2     = − 12 − 25 i .
     2) Ðåøèì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå x2 − 4x + 13 = 0.
                       √                               √                  √ √
      x1,2 = 2 ±           4 − 13 = 2 ±                    −9 = 2 ±        9 −1 = 2 ± 3i
Çäåñü äèñêðèìèíàíò D < 0, x2 = x1 , ò.å. êîðíè êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûå, è
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
(x − x1 )(x − x2 ) = (x − 2 − 3i)(x − 2 + 3i) = x2 − 4x + 13.
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈß ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ
     Ïî îïðåäåëåíèþ êîìïëåêñíîå ÷èñëî çàäàåòñÿ äâóìÿ âåùåñòâåííûìè
÷èñëàìè (x, y).  ñâîþ î÷åðåäü äâà âåùåñòâåííûõ ÷èñëà îïðåäåëÿþò òî÷-
êó â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ýòà òî÷êà (åå òîæå áóäåì íàçûâàòü z ), à
òàêæå ðàäèóñ-âåêòîð −
                    →
                    oz = {x, y} äàþò ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ êîì-
ïëåêñíîãî ÷èñëà. Ïëîñêîñòü, íà êîòîðîé èçîáðàæàþòñÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà,
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ z. Íà ýòîé ïëîñêîñòè îñü ox íàçûâà-
åòñÿ âåùåñòâåííîé îñüþ, à îñü oy  ìíèìîé îñüþ, ò.ê. âåùåñòâåííûå ÷èñëà
z = x èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè îñè ox, à ÷èñëà z = iy (èõ íàçûâàþò "÷èñòî"
ìíèìûìè)  òî÷êàìè íà îñè oy.
                     6
                  iyp p p p p p p ©p pzp pp = x   + iy
                            ©*pppp
                     ©                    ppx -
                   o HHH                   pp
                 −iy p p p p p p p p p p p
                                   j
                                    z = x − iy



     Åñëè èñïîëüçîâàòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ âåêòîðîâ
−→ = {x , y } è −
oz               → = {x , y } : −
                oz               →±−
                                oz    → = {x ± x , y ± y }, òî ñëîæåíèþ
                                     oz
  1    1 1         2   2 2         1    2   1   2   1   2

è âû÷èòàíèþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ìîæíî äàòü
ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ:

                       y            1    z + z2                       y
                          6z ©                                         6z
                              ©2 ©
                                 µ
                                 ¡
                                 ¡¢                                          2
                            ¢̧ ¡ ¢                                        ¢̧J
                           ¢¡©*¢z1                                       ¢ ©*^ z1
                                                                             J
                          ¢ ©
                          ¡
                          ©        -x                                  ¢©©      -x
                      0                                               0J
                                                                         J
                                                                         ^
                                                                          z1 − z2


                                                                  4

Страницы