Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z e
iϕ
ϕ
z
1
= 2e
πi
4
, z
2
= 3e
−
πi
2
, z
3
= e
−
3π i
4
, z
4
= 4e
3π i
4
, z
5
= 5e
π i
6
, z
6
= e
−
πi
6
.
w
1
= z
1
z
3
, w
2
= z
2
z
4
, w
3
= z
1
z
5
, w
4
= z
2
z
6
z
1
= e
2+3i
, z
2
= e
−1+3i
, z
3
= e
4i
, z
4
= e
−5i
.
z
1
= 1 − i, z
2
= 1 + i, z
3
= −
√
3 + i, z
4
=
√
3 − i,
z
5
= −5i, z
6
= 6i, z
7
= −64, z
8
= 4.
|z
1
− z
2
|
1) |z −a| = r, 2) |z −2|+ |z + 2| = 5, 3) |z + i| = 2,
4) |z − 1 + i| = 3, 5) z = 3e
it
, 0 ≤ t ≤ π, 6) z = z
1
+ (z
2
− z
1
)t, 0 ≤ t ≤ 1,
7) |z| = 1 − Re z, 8) z = 2 + 3e
it
, −π ≤ t ≤ 0.
1) |z − a| < r, 2) |z| < 2,
π
2
< arg z < π, |z| < 3, 4) |z| > 3,
|z − i| < 1, |z + 1 − i| < 2, |z + e
i
π
4
| > 1, 8) |z − e
−i
π
4
| > 2,
2 < |z| < 4, −π < arg z < −
π
2
, 0 < Rez < 2,
11) − ∞ < Rez < 0, 0 < Imz < π, 12) 1 < Rez < +∞, π < Imz < 2π.
íîøåíèþ ìîäóëåé, à àðãóìåíò  ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ äåëèìîãî è äåëèòåëÿ.
Ýòî ïîçâîëÿåò ãåîìåòðè÷åñêè èõ ïîñòðîèòü.
                ÷àñòíîñòè,       óìíîæåíèå               âåêòîðà            z         íà   eiϕ     îçíà-
÷àåò       åãî         ïîâîðîò        íà   óãîë           ϕ       âîêðóã         íà÷àëà      êîîðäèíàò.
                                           ÇÀÄÀ×È
       5 Èçîáðàçèòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè êîìïëåêñíûå ÷èñëà â ïîêàçà-
òåëüíîé ôîðìå :
                  πi             πi             3πi               3πi             πi          πi
       z1 = 2e 4 , z2 = 3e− 2 , z3 = e−          4    , z4 = 4e    4    , z5 = 5e 6 , z6 = e− 6 .
       6 Íàéòè è èçîáðàçèòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïðîèçâåäåíèÿ
       w1 = z1 z3 , w2 = z2 z4 , w3 = z1 z5 , w4 = z2 z6 (ñì. 5 ).
       7 Ïðåäñòàâèòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà â äåêàðòîâîé ôîðìå, ïðèìåíèâ ôîð-
ìóëó Ýéëåðà:
       z1 = e2+3i , z2 = e−1+3i , z3 = e4i , z4 = e−5i .

       8 Ïðåäñòàâèòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå (âçÿâ ãëàâ-
íûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà):
                                     √           √
       z1 = 1 − i, z2 = 1 + i, z3 = − 3 + i, z4 = 3 − i,
       z5 = −5i, z6 = 6i, z7 = −64, z8 = 4.

       9 Êàêîâ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âûðàæåíèÿ |z1 − z2 | ?
       10 Îïðåäåëèòü êðèâûå è ïîñòðîèòü èõ:
       1) |z − a| = r, 2) |z − 2| + |z + 2| = 5, 3) |z + i| = 2,
4) |z − 1 + i| = 3, 5) z = 3eit , 0 ≤ t ≤ π, 6) z = z1 + (z2 − z1 )t, 0 ≤ t ≤ 1,
7) |z| = 1 − Re z, 8) z = 2 + 3eit , −π ≤ t ≤ 0.
       11 Ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê ïî óñëîâèÿì:
                                           π
       1) |z − a| < r, 2) |z| < 2,         2   < arg z < π, 3) |z| < 3, 4) |z| > 3,
                                                              π                         π
5) |z − i| < 1, 6) |z + 1 − i| < 2, 7) |z + ei 4 | > 1, 8) |z − e−i 4 | > 2,
9) 2 < |z| < 4, −π < arg z < − π2 , 10) 0 < Rez < 2,
11) − ∞ < Rez < 0, 0 < Imz < π, 12) 1 < Rez < +∞, π < Imz < 2π.




                                                      7

Страницы