Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) z
4
1
, 2) z
6
2
, 3) z
8
3
, 4) z
5
4
.
1)
√
6i, 2)
6
√
−64i, 3)
3
√
1 − i, 4)
4
p
√
3 − i, 5)
√
−i, 6)
3
√
1,
7)
5
q
32(1 +
√
3i), 8)
3
√
−8
1) z
8
− 1 = 0, 2) z
3
+ 1 = 0, 3) z
5
+ 1 − i = 0, 4) z
3
+ i = 0.
1) cos 2ϕ = cos
2
ϕ − sin
2
ϕ, sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ,
2) cos 3ϕ = cos
3
ϕ − 3 cos ϕ sin
2
ϕ, sin 3ϕ = 3 cos
2
ϕ sin ϕ − sin
3
ϕ.
w = az + b, a, b z
z w
w = |a|e
iarga
z +
b
D
w
D
z
: |z| < 1, w = 2iz + 3.
w
w
1
= 2z, w
2
= iw
1
, w = w
2
+ 3.
w
1
D
z
D
1
: |w
1
| < 2, |w
1
| = 2|z|.
w
2
D
1
π/2 w
1
= 0 D
1
                                               ÇÀÄÀ×È
        12 Âîçâåñòè â ñòåïåíü êîìïëåêñíûå ÷èñëà (ñì. 8 ):
        1) z14 , 2) z26 , 3) z38 , 4) z45 .

        13 Èçâëå÷ü êîðåíü èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, äàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èí-
òåðïðåòàöèþ:
          √        √         √           p
                                         4
                                           √          √      √
        1) 6i, 2) 6 −64i, 3) 3 1 − i, 4)     3 − i, 5) −i, 6) 3 1,
          q         √      √
        7) 5 32(1 + 3i), 8) 3 −8 .
        14 Ðåøèòü óðàâíåíèÿ:
        1) z 8 − 1 = 0, 2) z 3 + 1 = 0, 3) z 5 + 1 − i = 0, 4) z 3 + i = 0.
        15 Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ìóàâðà, äîêàçàòü, ÷òî
        1) cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ, sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ,
        2) cos 3ϕ = cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ, sin 3ϕ = 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ.

                                                ÒÅÌÀ 4
  ÏÎÍßÒÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎ
        Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåí-
íîãî.
        1. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
        w = az + b, ãäå a, b  ôèêñèðîâàííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, à z  êîì-
ïëåêñíîå ïåðåìåííîå. Îíà âçàèìíî-îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ïëîñêîñòü êîì-
ïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî z â ñåáÿ. Åñëè ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèþ w íà íåêîòî-
ðîé ôèãóðå, òî å¼ îáðàçîì áóäåò òîæå ôèãóðà. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî w = |a|eiarga z +
b , ìîæíî ïîñòðîèòü îáðàçû ôèãóð.
        Ïðèìåð. Íàéòè            îáðàç        Dw êðóãà Dz : |z| < 1, åñëè w = 2iz + 3.
        Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ w êàê ñóïåðïîçèöèþ íåñêîëüêèõ ôóíêöèé:
        w1 = 2z, w2 = iw1 , w = w2 + 3.
        Ôóíêöèÿ w1 îòîáðàçèò Dz â D1 : |w1 | < 2, ò.ê. |w1 | = 2|z|. Ôóíêöèÿ
w2 ïîâåðíåò êðóã D1 íà π/2 âîêðóã öåíòðà w1 = 0 , ò.å. îòîáðàçèò D1 â ñåáÿ.



                                                    9

Страницы