Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

w D
1
3 D
w
|w − 3| < 2.
6
-
µ´
¶³
z
j
6
-
&%
'$
w
1
±°
²¯
6
-
&%
'$
w
n
q
w = e
z
= e
x+iy
= e
x
e
iy
= e
x
(cos y + i sin y)
|e
z
| = e
x
, Arge
z
= y + 2kπ, k = 0, ±1, ...
2πi : e
z+2πi
= e
z
.
x
cos x =
e
ix
+e
−ix
2
, sin x =
e
ix
−e
−ix
2i
.
cos z =
e
iz
+e
−iz
2
, sin z =
e
iz
−e
−iz
2i
, tgz =
sin z
cos z
, ctgz =
cos z
sin z
.
w = Ln z e
w
= z
w = u + iv e
u
e
iv
= |z|e
i argz
, u = ln |z|, v =
arg z + 2πk = Arg z =⇒ w = Ln z = ln |z| + iArg z.
cos z = i.
cos z =
e
iz
+e
−iz
2
= i. e
2iz
− 2ie
iz
+ 1 = 0 =⇒ e
iz
= i ±
√
−2 =
i ± i
√
2 = i(1 ±
√
2) =⇒ iz = Lni(1 ±
√
2) = ln(
√
2 ± 1) ± iπ/2 + 2kπi,
z = ±π/2 + 2kπ −i ln(
√
2 ± 1), k = 0, ±1, ±2, ...
|z| < 1
1) w = 3z 2) w = 4iz, 3) w = −4iz − 1, 4) w = −iz + 2,
5) w = −2iz + 1 − 2i, 6) w = 2iz + 3 − i
Ôóíêöèÿ w êðóã D1 ïàðàëëåëüíî ñäâèíåò íà 3 . Ñëåäîâàòåëüíî, îáðàçîì Dw
áóäåò êðóã |w − 3| < 2.
                                                    ²¯                                  wn
               6 zj                               6 w1                                6
                                                 '$ ±°                                 '$
              ¶³
                1 -                                        2-                          3
                                                                                       q   -
              µ´
                                                 &%                                   &%




     2. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ
      w = ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y) .
     Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî |ez | = ex , Argez = y + 2kπ, k = 0, ±1, ... Ïîêàçà-
òåëüíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì 2πi : ez+2πi = ez .
     3. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Äëÿ âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèé x
èç ôîðìóëû Ýéëåðà èìååì
                   eix +e−ix               eix −e−ix
      cos x =           2    ,   sin x =       2i    .
     Èñïîëüçóåì ýòè ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíê-
öèé êîìïëåêñíîãî àðãóìåíòà:
          eiz +e−iz               eiz −e−iz              sin z              cos z
cos z =        2    ,   sin z =       2i    ,   tgz =    cos z ,   ctgz =   sin z .
     4. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Îïðåäåëèì ìíîãîçíà÷íóþ ëîãàðèô-
ìè÷åñêóþ ôóíêöèþ w = Ln z êàê îáðàòíóþ ê ïîêàçàòåëüíîé. Òîãäà ew = z
è ïðè w = u + iv ïîëó÷èì eu eiv = |z|ei argz , îòêóäà èìååì u = ln |z|, v =
arg z + 2πk = Arg z =⇒ w = Ln z = ln |z| + iArg z.
     Ïðèìåð.             Ðåøèòü óðàâíåíèå                     cos z = i.
     Ïî îïðåäåëåíèþ èìååì:
               iz   −iz                                               √
      cos z = e +e2     = i. Îòñþäà e2iz
                                         − 2ieiz
                                                 + 1 = 0 =⇒ eiz
                                                                = i ±   −2 =
     √            √                     √         √
i ± i 2 = i(1 ± 2) =⇒ iz = Lni(1 ± 2) = ln( 2 ± 1) ± iπ/2 + 2kπi,
                         √
z = ±π/2 + 2kπ − i ln( 2 ± 1), k = 0, ±1, ±2, ...

                                                 ÇÀÄÀ×È
      16 Íàéòè îáðàç êðóãà |z| < 1 , åñëè:
1) w = 3z , 2) w = 4iz,             3) w = −4iz − 1,                4) w = −iz + 2,
5) w = −2iz + 1 − 2i, 6) w = 2iz + 3 − i .

                                                         10

Страницы