Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
2
P
n
(x) = (x −x
1
)(x −x
2
) P
n−2
(x).
P
n
(x) = (x − x
1
)(x − x
2
)...(x − x
n
)P
0
,
x
n
P
0
= a
0
.
5
◦
. P
n
(x)
x
1
= α+iβ, x
2
= x
1
=
α − iβ
P
n
(α + iβ) = 0 ⇐⇒ a
0
(α + iβ)
n
+ a
1
(α + iβ)
n−1
+
... + a
n
= 0.
a
0
(α − iβ)
n
+ a
1
(α − iβ)
(n−1)
+ ... + a
n
= 0. ⇐⇒ P
n
(α − iβ) = 0
P
n
(x) = a
0
(x − x
1
)(x − x
2
)...(x − x
n
),
(x − x
1
)(x − x
1
) = x
2
+ px +
q, p
2
− 4q < 0.
P
n
(x) = a
0
(x−α
1
)
r
1
(x−α
2
)
r
2
...(x−α
m
)
r
m
(x
2
+p
1
x+q
1
)
k
1
...(x
2
+p
s
x+q
s
)
k
s
, (2)
n = r
1
+ r
2
+ ...r
m
+ 2k
1
+ ... + 2k
s
, α
1
, α
2
...α
m
p
2
j
− 4q
j
< 0, j = 1, s.
P (x) = x
3
−3x
2
+7x−5
x
1
= 1. P (x) (x − 1),
x
2
−2x+5, x
2
= 1+2i, x
3
= 1−2i.
P (x) = x
3
− 3x
2
+ 7x − 5 = (x − 1)(x
2
− 2x + 5).
ìíîãî÷ëåí, è õîòÿ áû îäèí êîðåíü x2 ó íåãî åñòü, ïîýòîìó
Pn (x) = (x − x1 )(x − x2 ) Pn−2 (x). Ïðîäîëæàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ïîíèæàòü ñòå-
ïåíü ìíîãî÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà, ïðèä¼ì ê òîæäåñòâó

                      Pn (x) = (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn )P0 ,

îòêóäà ñðàâíåíèåì êîýôôèöèåíòîâ ïðè xn ïîëó÷èì P0 = a0 .
      5◦ . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ìíîãî÷ëåíà Pn (x) ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöè-
åíòàìè.
      Äîêàæåì, ÷òî, åñëè x1 = α+iβ, òî ñóùåñòâóåò âòîðîé êîðåíü x2 = x1 =
α − iβ .
      Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü Pn (α + iβ) = 0 ⇐⇒ a0 (α + iβ)n + a1 (α + iβ)n−1 +
... + an = 0. Âîçüìåì â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå:
a0 (α − iβ)n + a1 (α − iβ)(n−1) + ... + an = 0. ⇐⇒ Pn (α − iβ) = 0
      Òåïåðü ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû èìååì

                      Pn (x) = a0 (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn ),

ãäå êîìïëåêñíûå êîðíè âõîäÿò ïàðàìè, ïðè÷åì (x − x1 )(x − x1 ) = x2 + px +
q, p2 − 4q < 0. Êðîìå òîãî, êîðíè êàê âåùåñòâåííûå, òàê è êîìïëåêñíûå,
ìîãóò áûòü êðàòíûìè. Ïîýòîìó ïîñëå ïåðåîáîçíà÷åíèÿ êîðíåé îêîí÷àòåëüíî
èìååì

 Pn (x) = a0 (x−α1 )r1 (x−α2 )r2 ...(x−αm )rm (x2 +p1 x+q1 )k1 ...(x2 +ps x+qs )ks , (2)

ãäå âñå ñêîáêè ðàçëè÷íû, n = r1 + r2 + ...rm + 2k1 + ... + 2ks , α1 , α2 ...αm 
âåùåñòâåííûå, ðàçëè÷íûå, p2j − 4qj < 0, j = 1, s.
      Ïðèìåð. Íàéòè êîðíè ìíîãî÷ëåíà P (x) = x3 −3x2 +7x−5 è ðàç-
ëîæèòü åãî íà ìíîæèòåëè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè,
ò.å. ïðåäñòàâèòü â âèäå (2).
      Öåëî÷èñëåííûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà ÿâëÿþòñÿ äåëèòåëÿìè åãî ñâîáîäíîãî
÷ëåíà. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïîäáåðåì êîðåíü x1 = 1. Äåëÿ óãëîì P (x) íà (x − 1),
ïîëó÷èì x2 −2x+5, îòêóäà x2 = 1+2i, x3 = 1−2i. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè
èìååò âèä: P (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 = (x − 1)(x2 − 2x + 5).

                                          12

Страницы