Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

|z| < r w = az + b
1) e
z
= −3 + 4i, 2) e
z
= 1 + i, 3) sin z = 3, 4) tgz = 1 + 2i.
w = e
z
.
1) − ∞ < Rez < 0, 0 < Imz < π,
2) 0 < Rez < +∞, 0 < Imz < π/2
P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ... + a
n
, n ∈ N,
a
0
, a
1
, ..., a
n
x
1
P
n
(x
1
) = 0.
1
◦
. P
n
(x)
2
◦
. P
n
(x)
(x − c) P
n
(c) P
n
(x) = (x − c)P
n−1
(x) + P
n
(c).
P
n
(x) x −c
n −1 A = const.
P
n
(x) = (x − c)P
n−1
(x) + A. x = c, A = P
n
(c).
3
◦
. x = c
P
n
(x), P
n
(x)
(x − c), P
n
(x) = (x − c)P
n−1
(x).
4
◦
.
P
n
(x)
n
x
1
3
◦
P
n
(x) = (x − x
1
) P
n−1
(x). P
n−1
(x)
      17 Íàéòè îáðàç êðóãà |z| < r , åñëè w = az + b .
      18 Ðåøèòü óðàâíåíèÿ:
      1) ez = −3 + 4i, 2) ez = 1 + i, 3) sin z = 3, 4) tgz = 1 + 2i.
      19 Ïóñòü w = ez . Íàéòè îáðàç îáëàñòè:
      1) − ∞ < Rez < 0, 0 < Imz < π,
      2) 0 < Rez < +∞, 0 < Imz < π/2 .

                                    ÒÅÌÀ 5
          ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Î ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÀÕ
     Ìíîãî÷ëåíîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà

                   Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an , n ∈ N,

ãäå a0 , a1 , ..., an  êîýôôèöèåíòû, â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíûå. ×èñëî x1
íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà, åñëè Pn (x1 ) = 0.
     Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
      1◦ . Ìíîãî÷ëåí Pn (x) ñ âåùåñòâåííûìè èëè êîìïëåêñíûìè êîýôôèöè-
åíòàìè èìååò õîòÿ áû îäèí âåùåñòâåííûé èëè êîìïëåêñíûé êîðåíü (áåç äî-
êàçàòåëüñòâà).
      2◦ . Òåîðåìà Áåçó. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà Pn (x) íà ëèíåéíûé
ìíîæèòåëü (x − c) ðàâåí Pn (c) , ïðè÷¼ì Pn (x) = (x − c)Pn−1 (x) + Pn (c).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Äåëÿ óãëîì Pn (x) íà x − c ïîëó÷èì â ÷àñòíîì íåêîòî-
ðûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n − 1 , à â îñòàòêå A = const. Ïîýòîìó èìååì òîæäå-
ñòâî Pn (x) = (x − c)Pn−1 (x) + A. Ïîëàãàÿ â íåì x = c, ïîëó÷èì A = Pn (c).
      3◦ . Ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Áåçó. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷èñëî x = c áûëî
êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Pn (x), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû Pn (x) áåç îñòàòêà
äåëèëñÿ íà (x − c), ò.å. Pn (x) = (x − c)Pn−1 (x).
      4◦ . Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû.
     Ìíîãî÷ëåí Pn (x) ñ âåùåñòâåííûìè èëè êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòà-
ìè èìååò ðîâíî n êîðíåé, âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ò.ê. ìíîãî÷ëåí èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü x1 , òî èç 3◦
ñëåäóåò òîæäåñòâî Pn (x) = (x − x1 ) Pn−1 (x).  ñâîþ î÷åðåäü, Pn−1 (x) òîæå

                                       11

Страницы