Комплексные числа. Понятие функции комплексного переменного. Аксентьева Е.П. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z = re
iϕ
n ∈ N
z
n
= r
n
e
inϕ
r = 1
(cos ϕ + i sin ϕ)
n
= cos(nϕ) + i sin(nϕ).
z =
n
√
w, w w
w = ρe
iθ
, z z = re
iϕ
z
n
= w r
n
e
iϕn
= ρe
iθ
r
n
= ρ, ϕn = θ + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, ...
r =
n
√
ρ, ϕ
k
=
θ
n
+
2kπ
n
.
n k = 0, 1, 2, ...n − 1
2π
n
√
w n
z
k
=
n
√
ρe
i(θ+2kπ)/n
, k = 0, 1, ...n − 1.
6
√
−64.
z =
6
√
−64 z
6
= −64 = 64e
(2k+1)πi
, k = 0, 5.
z
k
=
6
√
64e
(2k+1)πi
6
= 2e
(2k+1)πi
6
z
k
z
0
= 2e
πi/6
π/3. z
k
6
-©
©*
z
0
H
Hj
z
5
p
p
p
p
p
p
p
&%
'$
6
?
H
HY
©
©¼
z
1
z
4
z
2
z
3
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
                                                                 ÒÅÌÀ 3
   ÂÎÇÂÅÄÅÍÈÅ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ  ÑÒÅÏÅÍÜ .
    ÈÇÂËÅ×ÅÍÈÅ ÊÎÐÍß ÈÇ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ×ÈÑËÀ
       Ïðè âîçâåäåíèè ÷èñëà z = reiϕ â ñòåïåíü n ∈ N êàê ñëåäñòâèå èç
óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååì:
       z n = rn einϕ . Ïðè r = 1 îòñþäà ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ìóàâðà
       (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ).
    Ðàññìîòðèì èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, ò.å. íàéäåì
    √
z = n w, ãäå êîìïëåêñíîå ÷èñëî w çàäàíî. Ïðåäñòàâèì w â ïîêàçàòåëüíîé
ôîðìå w = ρeiθ , à z áóäåì èñêàòü â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå z = reiϕ . Èç
ðàâåíñòâà z n = w èìååì rn eiϕn = ρeiθ . Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ (1), ïîëó÷èì
       rn = ρ, ϕn = θ + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, ... .
                 √
       Òîãäà r = n ρ, ϕk = nθ + 2kπ
                                 n . Ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûõ óãëîâ çäåñü áóäåò
âñåãî n , ò.å. k = 0, 1, 2, ...n − 1 . Âñå îñòàëüíûå óãëû îòëè÷àþòñÿ îò ýòèõ íà
                                                                                √
óãîë, êðàòíûé 2π . Ïîýòîìó ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé                                   n
                                                                                    w áóäåò n :
       √
zk =   n   ρei(θ+2kπ)/n , k = 0, 1, ...n − 1.
       Ïðèìåð. Èçâëå÷ü                                    êîðåíü èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, äàòü ãåî-
                                                                    √
ìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ:                                          6
                                                                        −64.
                                               √
       Èç ðàâåíñòâà z =                        6
                                                    −64 èìååì z 6 = −64 = 64e(2k+1)πi , k = 0, 5. Îòñþäà
       √         (2k+1)πi                (2k+1)πi
zk =   6
           64e      6        = 2e           6             . Âñå ÷èñëà zk ïî ìîäóëþ ðàâíû 2 è , ñëåäîâàòåëü-
íî, ëåæàò íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà 2 ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Òî÷êà
z0 = 2eπi/6 , êàæäàÿ ïîñëåäóþùàÿ òî÷êà ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåé ïîâîðî-
òîì íà óãîë π/3. Åñëè ñîåäèíèòü òî÷êè zk , ïîëó÷èì ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëü-
íèê.

                                      pz
                                       6
                      '$
                                 ppp 6  p p 1p
                                               pp
                                             *pppp pz-
                             p p
                   z2p pH
                        pY
                         ppp H©©                      0
                           pp ©        H           p
                   z3&% ¼
                        ©   p p p 0p H       j     pp
                                              p p pp
                                       p p p z5
                                    p p?
                                       z4




                                                                    8

Страницы