Частные вопросы курса физики. Александров В.Н - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МПГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

109
громоздким вычислениям. Решение подобной задачи существенно облегчается
при использовании теоремы Остроградского – Гаусса.
Прежде чем сформулировать теорему, введем понятие потока N вектора
E
через произвольную площадку dS: dN = EdS (если силовые линии
перпендикулярны площадке). Пусть существуют какие-то заряды, создающие
поле. Электрическое поле, созданное ими в неограниченной однородной среде,
обладает замечательной особенностью:
Полный поток N вектора напряженности электрического поля,
пронизывающий произвольную замкнутую поверхность S, определяется
алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри поверхности и равен
0
i
S
q
EdSN

. (6.4)
Это теорема Остроградского – Гаусса.
Если ∑q
i
= 0, то N = 0. Это означает, что линии напряженности начинаются
на «+» и кончаются на «-» зарядах. Заряды – источники электрического поля.
Когда внутри поверхности нет зарядов, то N = 0. Это может означать
также, что сколько линий напряженности входит внутрь поверхности, столько
же и выходит.
Воспользовавшись теоремой Остроградского – Гаусса, рассчитаем
напряженности электрических полей в нескольких конкретных случаях.
1. Рассчитать напряженность
электрического поля внутри и
вне тонкой металлической
сферы радиуса r
o
, несущей
заряд q.
Построим гауссовы сферы радиусами r >
r
o
и r
1
< r
o
(рис. 6.4а) и посчитаем N = ES
через них. При r ≥ r
o
:
2
0
4/E r q


, откуда
2
0
4E q/ πεε r
,
причем при r=r
0
2
0 0 0
4E q/ πεε r
.
При r
1
< r
o
2
1
40Er

,
так как внутри сферы зарядов нет и E≡0.
График Е(r) представлен на рис. 6.4б.
2. Рассчитать электрическое поле между
двумя параллельными, бесконечно большими, разноименно заряженными
металлическими плоскостями с поверхностными плотностями заряда +ζ и -ζ
(рис. 6.5).
Рис. 6.4
r
r
0
r
0
r
Е 
громоздким вычислениям. Решение подобной задачи существенно облегчается
при использовании теоремы Остроградского – Гаусса.
    Прежде чем сформулировать теорему, введем понятие потока N вектора E
через произвольную площадку dS:         dN = EdS (если силовые линии
перпендикулярны площадке). Пусть существуют какие-то заряды, создающие
поле. Электрическое поле, созданное ими в неограниченной однородной среде,
обладает замечательной особенностью:
    Полный поток N вектора напряженности электрического поля,
пронизывающий произвольную замкнутую поверхность S, определяется
алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри поверхности и равен

                                     N   EdS  
                                                     qi
                                                          .        (6.4)
                                         S
                                                 0

     Это теорема Остроградского – Гаусса.
     Если ∑qi = 0, то N = 0. Это означает, что линии напряженности начинаются
на «+» и кончаются на «-» зарядах. Заряды – источники электрического поля.
     Когда внутри поверхности нет зарядов, то N = 0. Это может означать
также, что сколько линий напряженности входит внутрь поверхности, столько
же и выходит.
     Воспользовавшись теоремой Остроградского – Гаусса, рассчитаем
напряженности электрических полей в нескольких конкретных случаях.
     1.       Рассчитать       напряженность
              электрического поля внутри и
              вне тонкой металлической
              сферы радиуса ro, несущей
                                                          r0
              заряд q.                                                 а)
Построим гауссовы сферы радиусами r >                  r1    r
ro и r1 < ro (рис. 6.4а) и посчитаем N = ES
через них. При r ≥ ro:
E  4 r 2  q /  0 , откуда E  q/ 4πεε0 r 2 ,         Е
причем при r=r0                                       Е 0

              E0  q/ 4πεε0 r0 2 .                                    б)
При r1 < ro
                E  4 r12  0 ,
так как внутри сферы зарядов нет и E≡0.        0      r0         r
     График Е(r) представлен на рис. 6.4б.         Рис. 6.4
     2. Рассчитать электрическое поле между
двумя параллельными, бесконечно большими, разноименно заряженными
металлическими плоскостями с поверхностными плотностями заряда +ζ и -ζ
(рис. 6.5).

                                                                     109

Страницы