Классические методы математической физики - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
0
ϕ
1
Σ
f K ϕ
0
ϕ
1
Σ
u (x, t)
n
∂
2
u
∂t
2
− a
2
∆u = f(x, t)
R
n
× (0, ∞), u|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x)
R
n
,
∂
2
v
∂t
2
−∆v = g(x, t)
R
n
×(0, T ), v|
t=0
= ψ
0
(x),
∂v
∂t
t=0
= ψ
1
(x)
R
n
.
f = g K
−
n
(x
0
, t
0
) = {(x, t) : t > 0, a(t
0
− t) > |x − x
0
|}
ϕ
0
= ψ
0
, ϕ
1
= ψ
1
Σ
at
(x
0
) = {x ∈ R
n
: |x − x
0
| < at
0
}
K
−
n
(x
0
, t
0
)
(x, t) ∈ R
n+1
+
≡ R
n
× (0, ∞)
(x, t)
t = 0 u(x, t)
f = 0
n = 1, 2, 3
(x, t)
I
at
(x) = {y ∈ R : |y − x| ≤ a
2
t
2
}, Σ
at
(x) = {y ∈ R
2
: |y −x| ≤ at},
n = 3 B
at
(x) = {y = (x, y, z) ∈ R
3
: |y − x| ≤ at}
n = 3
(x, t)
S
at
(x) = {y = (x, y, z) ∈ R
3
: |y −x| = at}.
Ω
t = 0 Ω
(y, t) K ⊂ R
n+1
+
Ω ∩{y ∈
K : |y − x|
2
≤ a
2
t
2
} x ∈ Ω K
Ω Ω
óíêöèè ϕ0 è ϕ1  âíå çàìêíóòîãî êðóãà Σ. Äðóãèìè ñëîâàìè, çíà÷åíèÿ
ïðàâîé ÷àñòè f âíå K è íà÷àëüíûõ óíêöèé ϕ0 è ϕ1 âíå Σ íå âëèÿþò íà
çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ u â òî÷êå (x, t). Îáîáùàÿ óêàçàííûé ðåçóëüòàò íà ñëó÷àé
n èçìåðåíèé, ïðèõîäèì ê òåîðåìå:
   Òåîðåìà 5.1. àññìîòðèì äâå çàäà÷è Êîøè:


 ∂ 2u    2                  n                            ∂u
      − a  ∆u = f (x, t) â R  × (0, ∞), u|t=0 = ϕ 0 (x),             = ϕ1(x) â Rn ,
 ∂t2                                                     ∂t    t=0
                                                                              (5.14)
  2
 ∂ v                  n                           ∂v
     −∆v = g(x, t) â R  ×(0, T ), v|t=0 = ψ0 (x),            = ψ1 (x) â Rn . (5.15)
 ∂t2                                              ∂t   t=0
Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
  (i) f = g â êîíóñå Kn−(x0 , t0 ) = {(x, t) : t > 0, a(t0 − t) > |x − x0 |};
  (ii) ϕ0 = ψ0 , ϕ1 = ψ1 â øàðå Σat (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < at0 }.
  Åñëè îáå çàäà÷è èìåþò ðåãóëÿðíîå ðåøåíèå, òî ýòè ðåøåíèÿ òîæäå-
                          −
ñòâåííî ñîâïàäàþò â K n (x0 , t0 ).
  5.2. Îáëàñòü çàâèñèìîñòè, îáëàñòü âëèÿíèÿ è îáëàñòü îïðåäåëå-
íèÿ äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.         Îñíîâûâàÿñü íà óñòàíîâëåííûõ âûøå
àêòàõ, ââåäåì â ðàññìîòðåíèå åùå ðÿä âàæíûõ ïîíÿòèé, èñïîëüçóåìûõ
â òåîðèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà è, â
÷àñòíîñòè, â òåîðèè âîëíîâûõ óðàâíåíèé.
   Ïóñòü (x, t) ∈ Rn+1
                     +   ≡ Rn × (0, ∞)  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Îáëàñòüþ
çàâèñèìîñòè äëÿ òî÷êè (x, t) íàçûâàåòñÿ òî ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè
t = 0, äàííûå Êîøè íà êîòîðîì îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå u(x, t)
ðåøåíèÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â (5.14) ïðè f = 0. Èç ïðåäûäóùèõ ðåçóëü-
òàòîâ âûòåêàåò, ÷òî â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ n = 1, 2, 3 îáëàñòüþ çàâèñèìîñòè
äëÿ òî÷êè (x, t) ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çàìêíóòûé èíòåðâàë è çàìêíóòûé
êðóã

 Iat(x) = {y ∈ R : |y − x| ≤ a2 t2 }, Σat (x) = {y ∈ R2 : |y − x| ≤ at}, (5.16)
à ïðè n = 3  çàìêíóòûé øàð Bat(x) = {y = (x, y, z) ∈ R3 : |y − x| ≤ at}.
Áîëåå òîãî, èç îðìóëû Êèðõãîà (3.19) ñëåäóåò, ÷òî ïðè n = 3 îáëàñòüþ
çàâèñèìîñòè äëÿ òî÷êè (x, t) ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå ñåðà

                Sat (x) = {y = (x, y, z) ∈ R3 : |y − x| = at}.                (5.17)

   Åñëè, äàëåå, íîñèòåëåì äàííûõ Êîøè ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ îáëàñòü Ω
ïëîñêîñòè t = 0, òî äàííûå Êîøè â îáëàñòè Ω âëèÿþò íà ðåøåíèå âî
âñåõ òî÷êàõ (y, t) ìíîæåñòâà K ⊂ Rn+1
                                  +   äëÿ êîòîðîãî ïåðåñå÷åíèå Ω ∩ {y ∈
K : |y − x| ≤ a t }, x ∈ Ω íå ïóñòî. Óêàçàííîå ìíîæåñòâî K íàçûâà-
           2       2 2

åòñÿ ìíîæåñòâîì âëèÿíèÿ îáëàñòè Ω (ñì. ðèñ.5.1). Åñëè Ω ïðåäñòàâëÿåò


                                      220

Страницы