Классические методы математической физики - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂
2
u
∂t
2
=
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
R
2
× (0, ∞),
u|
t=0
= 0,
∂u
∂t
t=0
= 0
R
2
.
u ≡ 0 R
2
× (0, ∞)
(x
0
, t
0
) = (x
0
, y
0
, t
0
) t
0
> 0
K
−
(x
0
, t
0
) = {(x, t) : t
0
− t > |x − x
0
|}
t = 0 K ≡ K
−
2
(x
0
, t
0
)
Γ
K
−
(x
0
, t
0
) Σ = Σ(x
0
, t
0
) t = 0
K
−
(x
0
, t
0
)
2
∂u
∂t
∂
2
u
∂t
2
−
∂
2
u
∂x
2
−
∂
2
u
∂y
2
≡
∂
∂t
"
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
+
∂u
∂t
2
#
−
−2
∂
∂x
∂u
∂t
∂u
∂x
− 2
∂
∂y
∂u
∂t
∂u
∂y
.
K u
0 =
Z
K
(
∂
∂t
"
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
+
∂u
∂t
2
#
−
−2
∂
∂x
∂u
∂t
∂u
∂x
− 2
∂
∂y
∂u
∂t
∂u
∂y

dxdydt.
Γ ∪ Σ K
∂u/∂x = ∂u/∂y = ∂u/∂t = 0 Σ
Γ
Z
Γ
("
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
+
∂u
∂t
2
#
cos(n, t)−
2
∂u
∂t
∂u
∂x
cos(n, x) − 2
∂u
∂t
∂u
∂y
cos(n, y)
dσ = 0.
ðåãóëÿðíûì ðåøåíèåì îäíîðîäíîé çàäà÷è Êîøè

                     ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                        2
                          = 2 + 2 â R2 × (0, ∞),                           (5.3)
                     ∂t    ∂x  ∂y
                                       ∂u
                        u|t=0 = 0,                   = 0 â R2 .            (5.4)
                                       ∂t      t=0
Ïîêàæåì, ÷òî u ≡ 0 â R × (0, ∞). Ñ ýòîé öåëüþ âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ
                           2

òî÷êó (x0 , t0 ) = (x0, y0 , t0 ), t0 > 0 è èç íåå, êàê âåðøèíû, ïðîâåäåì êîíóñ
ïðîøëîãî
                     K −(x0, t0) = {(x, t) : t0 − t > |x − x0 |}           (5.5)
äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïëîñêîñòüþ t = 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç K ≡ K2−(x0 , t0 ) îá-
ëàñòü (êîíå÷íûé êîíóñ), îãðàíè÷åííóþ ÷àñòüþ Γ áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êî-
íóñà K −(x0 , t0 ) è ÷àñòüþ Σ = Σ(x0 , t0 ) ïëîñêîñòè t = 0, îòñåêàåìîé êîíóñîì
K −(x0, t0) (ñì. ðèñ.4.1á). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî
                                         "          2  2 #
            2          2     2
                                                2
        ∂u ∂ u ∂ u ∂ u               ∂       ∂u        ∂u         ∂u
      2             −     −       ≡                +          +         −
        ∂t ∂t2        ∂x2 ∂y 2      ∂t       ∂x         ∂y        ∂t
                                                              
                         ∂         ∂u ∂u          ∂        ∂u ∂u
                      −2                       −2                  .       (5.6)
                         ∂x        ∂t ∂x          ∂y       ∂t ∂y
Ïðîèíòåãðèðóåì (5.6) ïî îáëàñòè K . Ïîñêîëüêó óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåøå-
íèåì çàäà÷è (5.3), (5.4), òàê ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü (5.6) ðàâíà íóëþ, òî ïîëó÷èì
                    Z ( "   2  2  2 #
                          ∂    ∂u        ∂u         ∂u
               0=                    +         +          −
                          ∂t   ∂x        ∂y         ∂t
                    K
                                         
                    ∂ ∂u ∂u        ∂ ∂u ∂u
                 −2            −2              dxdydt.            (5.7)
                    ∂x ∂t ∂x      ∂y ∂t ∂y
Èñïîëüçóÿ îðìóëó àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî, ïðåîáðàçóåì îáúåìíûé èíòå-
ãðàë â (5.7) â ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïî ãðàíèöå Γ ∪ Σ îáëàñòè K . Òàê
êàê â ñèëó (5.4) ∂u/∂x = ∂u/∂y = ∂u/∂t = 0 íà Σ, òî èíòåãðàë â (5.7)
ïðåîáðàçóåòñÿ ëèøü â îäèí ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïî Γ:
               Z (" 2  2  2 #
                      ∂u       ∂u       ∂u
                           +        +         cos(n, t)−
                      ∂x       ∂y       ∂t
                Γ
                                                      
                   ∂u ∂u               ∂u ∂u
                 2       cos(n, x) − 2       cos(n, y) dσ = 0.             (5.8)
                   ∂t ∂x               ∂t ∂y

                                           218

Страницы