Классические методы математической физики - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x, y, t) f
K
−
1
(x, t) K
−
2
(x, y, t)
u(x, t) u
(x, t) ∈ R
4
+
f(y, t) f
(y, t)
Γ
−
3
(x, t) K
−
3
(x, t) §3
§3
R, R
2
R
2n
R
n
R
n
∂
2
u
∂t
2
=
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+ f(x, y, t)
R
3
+
≡ R
2
× (0, ∞),
u|
t=0
= ϕ
0
(x, y),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x, y)
R
2
.
a = 1
t t/a
C
2
(R
3
+
)
u
1
u
2
u = u
1
−u
2
Êîøè (4.20), (4.21) â òî÷êå (x, y, t)) çàâèñèò îò çíà÷åíèé ïðàâîé ÷àñòè f
óðàâíåíèÿ (4.23) (ëèáî (4.20)) â òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè õàðàêòåðè-
ñòè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà K1−(x, t) (ëèáî êîíóñà K2−(x, y, t)).  ïðîòèâîïî-
ëîæíîñòü ýòîìó çíà÷åíèå u(x, t) ðåøåíèÿ u òðåõìåðíîé çàäà÷è Êîøè (4.1),
(4.3) â òî÷êå (x, t) ∈ R4+ çàâèñèò ëèøü îò çíà÷åíèé f (y, t) ïëîòíîñòè f
â (÷åòûðåõìåðíûõ) òî÷êàõ (y, t), ðàñïîëîæåííûõ íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè
Γ−                            −
  3 (x, t) êîíå÷íîãî êîíóñà K3 (x, t). Òàêèì îáðàçîì, êàê è â §3, ìû îïÿòü
íàáëþäàåì êà÷åñòâåííîå îòëè÷èå ðåøåíèé îäíîìåðíîé è äâóìåðíîé çàäà÷
Êîøè (4.23), (4.24) è (4.20), (4.21) ñîîòâåòñòâåííî îò ðåøåíèÿ òðåõìåðíîé
çàäà÷è Êîøè (4.1), (4.3) äëÿ íåîäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Óêàçàí-
íîå îòëè÷èå èìååò òó æå ñàìóþ ïðèðîäó, ÷òî è äëÿ îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî
óðàâíåíèÿ (ñì. §3), ò.å. îíî ñâÿçàíî ñ íàðóøåíèåì ïðèíöèïà þéãåíñà â
R, R2 , à òàêæå â ïðîñòðàíñòâå R2n ÷åòíîãî ÷èñëà èçìåðåíèé. Áîëåå äåòàëü-
íî ýòîò âîïðîñ îñâåùàåòñÿ â [11, Ÿ14℄ è [35, ãë.24℄.

          Ÿ5. Íåêîòîðûå îáùèå âîïðîñû òåîðèè
         ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â ïðîñòðàíñòâå Rn

    ýòîì ïàðàãðàå ìû äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè
äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Rn ëþáîãî ÷èñëà èçìåðåíèé. Îñ-
íîâûâàÿñü íà ýòîé òåîðåìå è ðåçóëüòàòàõ ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàîâ, ìû ââå-
äåì äàëåå ðÿä âàæíûõ â ìàòåìàòè÷åñêîì è èçè÷åñêîì ïëàíàõ ïîíÿòèé,
ñâÿçàííûõ ñ îáùèìè óðàâíåíèÿìè ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà. Ê óêàçàííûì ïî-
íÿòèÿì îòíîñÿòñÿ îáëàñòü çàâèñèìîñòè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, îáëàñòü
âëèÿíèÿ è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äëÿ âîëíîâîãî ïðîöåññà.
  5.1. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ âîë-
íîâîãî óðàâíåíèÿ.  Òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé çàäà÷ ìàòåìàòè÷å-
ñêîé èçèêè äîêàçûâàþòñÿ, êàê ïðàâèëî, íåçàâèñèìî îò ìåòîäà èõ ðåøå-
íèÿ. Íèæå ìû ïðèâåäåì òàêîå äîêàçàòåëüñòâî äëÿ äâóìåðíîé (äëÿ îïðåäå-
ëåííîñòè) çàäà÷è Êîøè

           ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
              2
                =    2
                       + 2 + f (x, y, t) â R3+ ≡ R2 × (0, ∞),          (5.1)
           ∂t     ∂x    ∂y
                                     ∂u
                u|t=0 = ϕ0 (x, y),              = ϕ1(x, y) â R2 .      (5.2)
                                     ∂t   t=0
 (5.1) ìû ñ÷èòàåì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî a = 1, ÷åãî ìîæíî äîñòèãíóòü, çà-
ìåíÿÿ t íà t/a. Äîêàæåì, ÷òî çàäà÷à Êîøè (5.1), (5.2) èìååò åäèíñòâåííîå
ðåãóëÿðíîå ðåøåíèå èç êëàññà C 2 (R3+).
   Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ðåãóëÿðíûõ ðåøåíèÿ u1
è u2 çàäà÷è (5.1), (5.2). Òîãäà èõ ðàçíîñòü u = u1 − u2 , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ


                                      217

Страницы