Классические методы математической физики - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x, t
u(x, t) =
1
2a
Z
K
−
1
(x,t)
f(ξ, τ)dξdτ. (4.25a)
u(x, y, t) =
1
2πa
Z
K
−
2
(x,y,t)
f(ξ, η, τ)dξdηdτ
p
a
2
(t − τ)
2
− (x − ξ)
2
− (y − η)
2
. (4.22a)
x, y t
K
−
2
(x, y, t)
u(x, t) =
1
4π
Z
Γ
−
3
(x,t)
(t − τ)f [x + a(t − τ)n, τ] sinθdθdψ. (4.19a)
Γ
−
3
(x, t) K
−
3
(x, t)
(x, t)
÷àñòü â (4.25) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîâòîðíûé èíòåãðàë, ê êîòîðîìó ñâîäèò-
ñÿ äâîéíîé (ïî ïåðåìåííûì x, t) èíòåãðàë â îðìóëå
                                  1
                                    Z
                       u(x, t) =        f (ξ, τ )dξdτ.           (4.25a)
                                 2a
                                  K1− (x,t)




                     (à)                           (á)


                                  èñ. 4.1.


   Àíàëîãè÷íûé àêò ñïðàâåäëèâ è äëÿ îðìóëû (4.22), ðåøàþùåé äâó-
ìåðíóþ çàäà÷ó Êîøè (4.20), (4.21). Óêàçàííóþ îðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü
â âèäå
                   1                  f (ξ, η, τ )dξdηdτ
                      Z
     u(x, y, t) =          p                                     . (4.22a)
                  2πa         a2 (t − τ )2 − (x − ξ)2 − (y − η)2
                    K2− (x,y,t)

Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðàâàÿ ÷àñòü â (4.22) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîâòîðíûé
èíòåãðàë, ê êîòîðîìó ñâîäèòñÿ òðîéíîé ïî ïåðåìåííûì x, y è t èíòåãðàë
ïî êîíå÷íîìó êîíóñó K2−(x, y, t) â ïðàâîé ÷àñòè (4.22à).
   ×òî êàñàåòñÿ îðìóëû (4.19), ðåøàþùåé òðåõìåðíóþ çàäà÷ó Êîøè (4.1),
(4.3), òî ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî îíà ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå:
                    1
                      Z
         u(x, t) =        (t − τ )f [x + a(t − τ )n, τ ] sinθdθdψ. (4.19a)
                   4π
                   Γ−
                    3 (x,t)


Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â îòëè÷èå îò îðìóë (4.25à) è (4.22à), èíòåãðèðîâàíèå â
îðìóëå (4.19à) ïðîèçâîäèòñÿ ïî êîíå÷íîìó õàðàêòåðèñòè÷åñêîìó êîíóñó
Γ−                                                    −
 3 (x, t), ò. å. ïî áîêîâîé ãðàíèöå êîíå÷íîãî êîíóñà K3 (x, t).
   Ôîðìóëà (4.25à) (ëèáî (4.22à)) îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèå ðåøåíèÿ îäíî-
ìåðíîé çàäà÷è Êîøè (4.23),(4.24) â òî÷êå (x, t) (ëèáî äâóìåðíîé çàäà÷è

                                     216

Страницы