Классические методы математической физики - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u|
t=0
= 0,
∂u
∂t
|
t=0
= 0
R
u(x, t) =
1
2a
t
Z
0
x+a(t−τ)
Z
x−a(t−τ)
f(ξ, τ)dξ
dτ.
R
3
R
2
R
R
3
R
2
R Γ(x
0
, t
0
)
R
n+1
= R
n
x
× R
t
Γ(x
0
, t
0
) =
(x, t) : a
2
(t − t
0
)
2
− |x − x
0
|
2
= 0
(x
0
, t
0
)
Γ(x
0
, t
0
)
K
+
(x
0
, t
0
) = {(x, t) : a(t − t
0
) > |x − x
0
|},
K
−
(x
0
, t
0
) = {(x, t) : a(t
0
− t) > |x − x
0
|},
(x
0
, t
0
)
u
K
−
n
(x
0
, t
0
) t = 0
K
−
(x
0
, t
0
) R
n+1
+
= R
n
x
× R
t,+
n = 1 n = 2
K
−
1
(x
0
, t
0
) = {(x, t) ∈ K
−
(x
0
, t
0
) : t > 0, a(t
0
− t) > |x − x
0
|},
K
−
2
(x
0
, y
0
, t
0
) = {(x, y, t) ∈ K
−
(x
0
, y
0
, t
0
) :
t > 0, a(t
0
− t) >
p
(x − x
0
)
2
+ (y −y
0
)
2
}
K
−
n
(x
0
, t
0
)
n = 1
Γ
−
n
(x
0
, t
0
)
n = 1
K
−
1
(x, t)
                                          ∂u
                        u|t=0 = 0,           |t=0 = 0      â    R               (4.24)
                                          ∂t
èìååò âèä (ñì. Ÿ1 è [11, ñ.214℄)
                                                               
                                     Zt       x+a(t−τ
                                                Z )
                                 1
                    u(x, t) =                         f (ξ, τ )dξ  dτ.         (4.25)
                                                                 
                                2a
                                          
                                     0    x−a(t−τ )

  4.3. Êà÷åñòâåííûé àíàëèç ðåøåíèé íåîäíîðîäíîãî âîëíîâîãî
óðàâíåíèÿ â         R3 , R2 è R. Çàéìåìñÿ êà÷åñòâåííûì àíàëèçîì ïðèâåäåí-
íûõ âûøå îðìóë äëÿ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â R3 ,
R2 è R. Ïðåäâàðèòåëüíî íàïîìíèì (ñì. ãë.2), ÷òî ïîâåðõíîñòü Γ(x0 , t0)
â ïðîñòðàíñòâå Rn+1 = Rnx × Rt , îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì Γ(x0 , t0 ) =
  (x, t) : a2 (t − t0 )2 − |x − x0 |2 = 0 , íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé êîíè-

÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ (èëè áîëåå êðàòêî õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êîíóñîì)
äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (4.1) ñ âåðøèíîé â òî÷êå (x0 , t0 ). Óêàçàííàÿ ïî-
âåðõíîñòü Γ(x0 , t0 ) ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé êîíóñîâ

                 K +(x0 , t0) = {(x, t) : a(t − t0 ) > |x − x0 |} ,
                 K −(x0 , t0) = {(x, t) : a(t0 − t) > |x − x0 |} ,
íàçûâàåìûõ ñîîòâåòñòâåííî êîíóñàìè áóäóùåãî è ïðîøëîãî ñ âåðøèíîé â
(x0, t0 ).
   Âàæíóþ ðîëü ñ òî÷êè çðåíèÿ àíàëèçà ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ u çàäà÷è Êîøè
èãðàåò êóñîê Kn−(x0 , t0 ) êîíóñà ïðîøëîãî, îòñåêàåìûé ïëîñêîñòüþ t = 0,
ò.å. ïåðåñå÷åíèå êîíóñà K −(x0 , t0 ) ñ ïîëóïðîñòðàíñòâîì Rn+1
                                                           +   = Rnx × Rt,+ .
 ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà n = 1 èëè n = 2, ñîîòâåòñòâóþùèå êóñêè

       K1−(x0, t0 ) = {(x, t) ∈ K −(x0, t0 ) : t > 0, a(t0 − t) > |x − x0 |},

       K2−(x0, y0, t0) = {(x, y, t) ∈ K −(x0, y0, t0) :
                                               p
                           t > 0, a(t0 − t) > (x − x0)2 + (y − y0 )2}
èçîáðàæåíû íà ðèñ.4.1à è ðèñ.4.1á. Äëÿ êðàòêîñòè íà êóñîê Kn−(x0 , t0 ) áó-
äåì òàêæå ññûëàòüñÿ êàê íà êîíå÷íûé êîíóñ (èëè òðåóãîëüíèê ïðè n = 1)
ïðîøëîãî, à íà åãî áîêîâóþ ãðàíèöó Γ−   n (x0 , t0 ) - êàê íà êîíå÷íûé õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêèé êîíóñ (òðåóãîëüíèê ïðè n = 1) ïðîøëîãî.
   Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå êîíå÷íûå êîíóñû, ïåðåéäåì òåïåðü ê àíàëèçó îð-
ìóë (4.19), (4.22), (4.25). Íà÷íåì èññëåäîâàíèå ñ ñàìîé íàãëÿäíîé îðìóëû
(4.25). Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå â îðìóëå (4.25)
ïðîèçâîäèòñÿ â òî÷íîñòè ïî òðåóãîëüíèêó K1−(x, t). Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïðàâàÿ


                                              215

Страницы