Классические методы математической физики - 214 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u x ∈ R
3
t > 0 f
y ∈ B
at
(x)
τ = t −|x −y|/a
u (x, t) f
B
at
(x) f
y ∈ B
at
(x) t
t − r/a t
r/a = |x − y|/a x y
y x
a
a
u
R
4
+
u :
R
4
+
→ R
R
2
R
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+ f(x, y, t)
R
2
× (0, ∞),
u|
t=0
= 0,
∂u
∂t
t=0
= 0
R
2
.
f
u(x, y, t) =
1
2πa
t
Z
0
Z
ρ≤a(t−τ)
f(ξ, η, τ)dξdη
p
a
2
(t − τ)
2
− ρ
2
dτ,
ρ (x, y)
(ξ, η) R
2
ρ
2
= (x − ξ)
2
+ (y − η)
2
.
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f(x, t)
R × (0, ∞),
    Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè îðìóëû (4.19), îïèñûâàþùåé ïîòåíöèàë âîë-
íîâîãî ïîëÿ, ÿâëÿþùåãîñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (4.1), (4.3), íàçûâàåòñÿ
çàïàçäûâàþùèì ïîòåíöèàëîì. Òàêîå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî çíà÷å-
íèå ïîòåíöèàëà u â èêñèðîâàííîé òî÷êå x ∈ R3 â èêñèðîâàííûé ìîìåíò
âðåìåíè t > 0 îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè ïðàâîé ÷àñòè f óðàâíåíèÿ (4.1),
îïèñûâàþùåé ïëîòíîñòü îáúåìíûõ èñòî÷íèêîâ, â òî÷êàõ y ∈ Bat (x), âçÿ-
òûìè â ïðåäûäóùèå ìîìåíòû âðåìåíè τ = t − |x − y|/a. Äðóãèìè ñëîâàìè,
äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîòåíöèàëà u â òî÷êå (x, t) ìû èíòåãðèðóåì ïëîòíîñòü f
èñòî÷íèêîâ ïîëÿ ïî øàðó Bat (x), ïðè÷åì çíà÷åíèÿ óíêöèè f â ïðîèçâîëü-
íîé òî÷êå y ∈ Bat (x) áåðóòñÿ íå â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè t, à
â ìîìåíò t − r/a, ïðåäøåñòâóþùèé ìîìåíòó t. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà çàïàç-
äûâàíèÿ r/a = |x − y|/a, çàâèñÿùàÿ êàê îò x, òàê è y, â òî÷íîñòè ðàâíà
âðåìåíè, íåîáõîäèìîìó äëÿ ïðèõîäà âîçìóùåíèÿ èç òî÷êè y â òî÷êó x (ñî
ñêîðîñòüþ a). Óêàçàííûé àêò, î÷åâèäíî, îáúÿñíÿåòñÿ êîíå÷íîñòüþ ñêîðî-
ñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé, êîòîðàÿ äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (4.1)
ðàâíà a.
    Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4.9) âñå âòîðûå ïðîèç-
âîäíûå îò óíêöèè u â (4.19), âõîäÿùèå â óðàâíåíèå (4.1) ñóùåñòâóþò è
íåïðåðûâíû â çàìêíóòîì ïîëóïðîñòðàíñòâå R4+ . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îðìó-
ëà (4.19) îïèñûâàåò ðåãóëÿðíîå ðåøåíèå çàäà÷è (4.1), (4.3). Ñîðìóëèðóåì
ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
    Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (4.9). Òîãäà óíêöèÿ u :

R+ → R, îïðåäåëÿåìàÿ çàïàçäûâàþùèì ïîòåíöèàëîì (4.19), ÿâëÿåòñÿ
  4

ðåãóëÿðíûì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (4.1), (4.3).
    4.2. Çàäà÷à Êîøè â R è R. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî íàéòè
                               2

ðåøåíèå äâóìåðíîé çàäà÷è Êîøè
         ∂ 2u
                    2      2
                                
                    ∂  u  ∂   u
            2
              = a2     2
                         + 2 + f (x, y, t) â R2 × (0, ∞),          (4.20)
         ∂t         ∂x    ∂y
                                 ∂u
                    u|t=0 = 0,          = 0 â R2 .                (4.21)
                                 ∂t t=0
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé íà f âèäà (4.9) ýòî ðåøåíèå èìååò âèä [11, ñ.214℄
                                                           
                            Zt
                         1               f (ξ, η, τ )dξdη 
                                  Z
           u(x, y, t) =                                      dτ, (4.22)
                               
                                        p
                        2πa               a2 (t − τ )2 − ρ2
                               
                            0    ρ≤a(t−τ )

ãäå ρ  ðàññòîÿíèå ìåæäó èêñèðîâàííîé òî÷êîé (x, y) è ïåðåìåííîé òî÷-
êîé (ξ, η) ïëîñêîñòè R2 : ρ2 = (x − ξ)2 + (y − η)2 .
   Íàêîíåö, ðåøåíèå îäíîìåðíîé çàäà÷è Êîøè
                 ∂ 2u      2
                         2∂ u
                      = a     + f (x, t)     â   R × (0, ∞),       (4.23)
                 ∂t2      ∂x2
                                     214

Страницы