Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1)X(0) = X(l) = 0 ; 2)X
′
(0) = X
′
(l) = 0;
3)X
′
(0) − h
1
X(0) = 0, X
′
(l) + h
2
X(l) = 0.
h
1
h
2
C
1
[0, l]
v ∈ C
1
[0, l]
v(x) =
∞
X
k=1
a
k
X
k
(x),
v
l
Z
0
|v(x) −
N
X
k=1
a
k
X
k
(x)|
2
dx → 0
N → ∞.
a
k
a
k
=
l
Z
0
ρ(x)v(x)X
k
(x)dx.
λ
k
ρ(x) (0, l)
{X
k
}
∞
k=1
C
1
[0, l]
λ
1
= 0 λ
1
X
1
q(x) ≡ 0
   Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óñëîâèå (2.15) âûïîëíÿåòñÿ ïðè ñëåäóþùèõ íàè-
áîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ â ïðèëîæåíèÿõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, ÿâëÿþ-
ùèõñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè óñëîâèé (2.2):
                    1)X(0) = X(l) = 0; 2)X ′ (0) = X ′ (l) = 0;
                   3)X ′(0) − h1 X(0) = 0, X ′ (l) + h2 X(l) = 0.      (2.17)
Çäåñü h1 è h2  ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà.
   Îòìåòèì åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî ñîáñòâåííûõ óíêöèé ñïåêòðàëüíîé
çàäà÷è (2.7), (2.8)  ñâîéñòâî ïîëíîòû â ïðîñòðàíñòâå C 1 [0, l]. Îíî ñîñòîèò
â òîì, ÷òî ëþáàÿ óíêöèÿ v ∈ C 1 [0, l] ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå
                                            ∞
                                            X
                                v(x) =            ak Xk (x),
                                            k=1

ñõîäÿùèéñÿ ê v â ñðåäíåì. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî
               Zl             N
                              X
                    |v(x) −         ak Xk (x)|2dx → 0 ïðè N → ∞.
               0              k=1

Çäåñü êîýèöèåíòû ak îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè
                                     Zl
                              ak =        ρ(x)v(x)Xk (x)dx.            (2.18)
                                     0

   Ïåðå÷èñëèì êðàòêî åùå ðàç îñíîâíûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è
óíêöèé çàäà÷è (2.7), (2.8), ñïðàâåäëèâûå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii).
   1. Ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è îòâå÷àþùèõ
èì ñîáñòâåííûõ óíêöèé çàäà÷è (2.7), (2.8), ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ (2.9).
   2. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λk ïðîñòûå.
   3.Ñîáñòâåííûå óíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì,
îðòîãîíàëüíû ñ âåñîì ρ(x) íà îòðåçêå (0, l), ò. å. óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
(2.11).
   4. Ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ óíêöèé {Xk }∞  k=1 ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé â ïðîñòðàí-
ñòâå C [0, l].
        1

   5.  ñëó÷àå, êîãäà ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ òàêîâû, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
(2.15), íàïðèìåð, èìåþò âèä, óêàçàííûé â (2.17), âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
íåîòðèöàòåëüíû, òàê ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (2.16). Ïðè ýòîì ðàâåíñòâî
λ1 = 0 â (2.16) âûïîëíÿåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îòâå÷àþùàÿ λ1
ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ X1 åñòü êîíñòàíòà, îòëè÷íàÿ îò íóëÿ. Ïîñëåäíåå âû-
ïîëíÿåòñÿ, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà q(x) ≡ 0, à ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â (2.2)
èìåþò ñìûñë óñëîâèé Íåéìàíà, ò. å. èìåþò âèä óñëîâèé 2) â (2.17).

                                             22

Страницы