Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

α = 1 β = 0 δ = 1
X(0) = 0, X
′
(l) + γX(l) = 0.
λ
tg
√
λl = −
√
λ
γ
.
λ
k
, k = 1, 2, ...
X
k
(x) = sin
p
λ
k
x, k = 1 , 2, ... .
λ = λ
k
T
k
(t) = a
k
cos
p
λ
k
t + b
k
sin
p
λ
k
t,
a
k
b
k
u
k
(x, t) = X
k
(x)T
k
(t) = (a
k
cos
p
λ
k
t + b
k
sin
p
λ
k
t)X
k
(x)
k = 1 , 2, ...
u(x, t) =
∞
X
k=1
(a
k
cos
p
λ
k
t + b
k
sin
p
λ
k
t)X
k
(x).
x t
u |
t=0
= ϕ
0
(x) =
∞
X
k=1
a
k
X
k
(x),
∂u
∂t
|
t=0
= ϕ
1
(x) =
∞
X
k=1
b
k
p
λ
k
X
k
(x).
ϕ
0
ϕ
1
{X
k
}
[0, l]
a
k
b
k
  4) α = 1, β = 0, δ = 1. Óñëîâèÿ (2.8) ïðèíèìàþò âèä

                           X(0) = 0, X ′ (l) + γX(l) = 0.
Ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ êîðíè λ òðàíñöåíò-
äåíòíîãî óðàâíåíèÿ:                 √
                            √         λ
                          tg λl = −     .
                                     γ
Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. [7, 21℄), ÷òî ýòî óðàâíåíèå èìååò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî
êîðíåé è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà-
÷åíèé λk , k = 1, 2, ... . Ñîáñòâåííûå óíêöèè èìåþò âèä
                                     p
                         Xk (x) = sin λk x, k = 1, 2, ... .
  2.3. Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäà Ôóðüå.         Îáðàòèìñÿ òå-
ïåðü ê óðàâíåíèþ (2.6). Åãî îáùåå ðåøåíèå ïðè λ = λk èìååò âèä
                                  p             p
                   Tk (t) = ak cos λk t + bk sin λk t,         (2.19)

ãäå ak è bk  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïî ïîñòðîåíèþ óíêöèÿ
                                         p             p
       uk (x, t) = Xk (x)Tk (t) = (ak cos λk t + bk sin λk t)Xk (x)       (2.20)

ïðè ëþáîì k = 1, 2, ... óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.1) è ãðàíè÷íûì óñëîâè-
ÿì (2.2). ×òîáû íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëü-
íûì óñëîâèÿì (2.3), ñîñòàâèì ðÿä
                        ∞
                        X        p             p
              u(x, t) =   (ak cos λk t + bk sin λk t)Xk (x).              (2.21)
                            k=1

Åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, êàê è ðÿäû, ïîëó÷àþùèåñÿ èç íåãî
äâóêðàòíûì ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì ïî x è t, òî åãî ñóììà áóäåò
ïî-ïðåæíåìó óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (2.1) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2).
×òîáû ýòà ñóììà óäîâëåòâîðÿëà è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (2.3), íåîáõîäèìî,
÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ
                     ∞                                 ∞
                     X                ∂u                 X p
  u |t=0= ϕ0 (x) =         ak Xk (x),    |t=0 = ϕ1 (x) =  bk λk Xk (x).   (2.22)
                                      ∂t
                     k=1                              k=1

   Ñîîòíîøåíèÿ â (2.22) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçëîæåíèÿ íà÷àëüíûõ óíê-
öèé ϕ0 è ϕ1 â ðÿä Ôóðüå ïî ïîëíîé ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ óíêöèé {Xk }
ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (2.7), (2.8). Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ðÿ-
äû â (2.22) ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ íà èíòåðâàëå [0, l], ñòàíäàðòíûì îáðàçîì
ìîæíî îïðåäåëèòü êîýèöèåíòû ak è bk . Äëÿ ýòîãî íóæíî óìíîæèòü îáå

                                         24

Страницы