Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ρX
k
x
l λ
k
> 0
a
k
=
l
Z
0
ρ(x)ϕ
0
(x)X
k
(x)dx, b
k
=
1
√
λ
k
l
Z
0
ρ(x)ϕ
1
(x)X
k
(x)dx, k = 1, 2, ... .
a
k
b
k
u
ϕ
0
ϕ
1
ρ(x)
∂
2
u
∂t
2
=
∂
∂x
p(x)
∂u
∂x
− q(x)u + f (x, t)
f
X
k
u|
x=0
= g
1
(t), u|
x=l
= g
2
(t), t ∈ (0, T ],
C
2
(Q
T
)
C
2
(Q
T
)
u
1
u
2
÷àñòè êàæäîãî èç ðàâåíñòâ â (2.22) íà ρXk è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî x â ïðå-
äåëàõ îò 0 äî l. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (2.10) è ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî λk > 0,
ïîëó÷èì
        Zl                                    Zl
                                      1
 ak =        ρ(x)ϕ0(x)Xk (x)dx, bk = √             ρ(x)ϕ1(x)Xk (x)dx, k = 1, 2, ... .
                                       λk
        0                                     0

Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå òàêèì îáðàçîì çíà÷åíèÿ êîýèöèåíòîâ ak è bk â
ðÿä (2.21), ïîëó÷èì óíêöèþ u, ÿâëÿþùóþñÿ ïî ïîñòðîåíèþ èñêîìûì ðå-
øåíèåì çàäà÷è (2.1)(2.3) ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ÷òî ðÿä (2.21) è ðÿäû,
ïîëó÷åííûå èç íåãî ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì, ñõîäÿòñÿ â ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ îáëàñòÿõ. Ïîñëåäíåå îáåñïå÷èâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì àíàëîãîì
òåîðåìû 1.1, êîòîðûé ñïðàâåäëèâ ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåëåííûõ óñëîâèé
íà íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ0 è ϕ1 è ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîá-
ñòâåííûõ óíêöèé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (2.7), (2.8). Áîëåå ïîäðîáíî îá
ýòîì ìîæíî ïðî÷èòàòü â [7℄, [11℄, [21℄, [48℄.
   Çàìå÷àíèå 2.1. Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå íàõîäèòñÿ ðåøåíèå êðàåâîé çà-
äà÷è äëÿ íåîäíîðîäíîãî àíàëîãà
                     ∂ 2u
                                        
                           ∂         ∂u
                 ρ(x) 2 =       p(x)       − q(x)u + f (x, t)    (2.23)
                     ∂t    ∂x        ∂x
óðàâíåíèÿ (2.1) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïëîòíîñòü îáúåìíûõ èñòî÷íèêîâ f
â (2.23) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì Xk çà-
äà÷è (2.7), (2.8). Åñëè, ê òîìó æå, óðàâíåíèå (2.23) ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðè
íåîäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, íàïðèìåð, ïðè óñëîâèÿõ

                     u|x=0 = g1 (t), u|x=l = g2 (t), t ∈ (0, T ],               (2.24)

òî ïðåäâàðèòåëüíî çàäà÷ó (2.23), (2.24), (2.3) ñëåäóåò ñâåñòè ñ ïîìîùüþ
çàìåíû ïåðåìåííûõ ê ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ âèäà
(2.23) ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, à äàëåå ïðèìåíèòü ìåòîä
Ôóðüå.
  2.4. Åäèíñòâåííîñòü è óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è.  Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (2.23) èç êëàññà C 2 (QT ). Äëÿ êîíêðåòíîñòè è ïðî-
ñòîòû âìåñòî îáùèõ êðàåâûõ óñëîâèé (2.2) áóäåì ðàññìàòðèâàòü óñëîâèÿ
Äèðèõëå (2.24).
   Òåîðåìà 2.1. Çàäà÷à Äèðèõëå (2.23), (2.24), (2.3) íå ìîæåò èìåòü
áîëåå îäíîãî ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà C 2 (QT ).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì ìåòîäîì, ñóùíîñòü
êîòîðîãî èçëîæåíà ⠟ 2 ãë. 2. Ïóñòü u1 è u2  äâà ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé

                                         25

Страницы