Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

E(0) =
1
2
l
Z
0
"
ρ(x)
∂u
∂t
2
+ p(x)
∂u
∂x
2
+ q(x)u
2
#
t=0
dx = 0.
E(t) = 0
u(x, t) ≡ 0 Q
T
u
1
= u
2
∂u
∂x
− h
1
u
x=0
= g
1
(t),
∂u
∂x
+ h
2
u
x=l
= g
2
(t)
(0, T ].
h
1
h
2
u
u
1
u
2
u
i
|
t=0
= ϕ
i
(x),
∂u
i
∂t
t=0
= ψ
i
(x)
(0, l), i = 1, 2.
u = u
1
− u
2
Q
T
ϕ(x) = ϕ
1
(x)−ϕ
2
(x), ϕ
′
(x) = ϕ
′
1
(x)−ϕ
′
2
(x)
ψ(x) = ψ
1
(x)−ψ
2
(x) [0, l].
u ∈ C
2
(Q
T
)
u|
t=0
= ϕ(x),
∂u
∂t
t=0
= ψ(x)
(0, l).
ε > 0 δ = δ(ε)
max
kϕk
C[0,l]
, kϕ
′
k
C[0,l]
, kψk
C[0,l]
< δ, (kϕk
C[0,l]
= max
x∈[0,l]
|ϕ(x)|)
kuk
C(
Q
T
)
≡ max
(x,t)∈
Q
T
|u(x, t)| < ε.
Íî â ñèëó íà÷àëüíûõ óñëîâèé (2.26) èìååì

               Zl "      2         2          #
             1           ∂u          ∂u
      E(0) =       ρ(x)      + p(x)      + q(x)u2                               dx = 0.
             2           ∂t          ∂x
                 0                                                        t=0

Òîãäà èç (2.30) ñëåäóåò, ÷òî E(t) = 0. Ïîñëåäíåå âîçìîæíî ëèøü â ñëó÷àå,
êîãäà u(x, t) ≡ 0 â QT , ò.å. u1 = u2 .
   Çàìå÷àíèå 2.2. Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå äîêàçûâàåòñÿ åäèíñòâåííîñòü
ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (2.23) ïðè óñëîâèÿõ 3-ãî ðîäà:

        ∂u                             ∂u
           − h1 u          = g1 (t),      + h2 u           = g2(t) â (0, T ].             (2.31)
        ∂x           x=0               ∂x            x=l

Çäåñü h1 è h2  íåîòðèöàòåëüíûå ïîñòîÿííûå.
   Äîêàæåì òåïåðü óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ u çàäà÷è (2.23), (2.24), (2.3) ïî
íà÷àëüíûì äàííûì.
   Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü u1 è u2  äâà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.23), óäîâëå-
òâîðÿþùèå îäíèì è òåì æå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.24) è íà÷àëüíûì
óñëîâèÿì
                                   ∂ui
            ui |t=0 = ϕi (x),                  = ψi(x) â (0, l), i = 1, 2.                (2.32)
                                   ∂t    t=0

Òîãäà ðàçíîñòü u = u1 − u2 ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî ìàëîé
ïî ìîäóëþ â QT , åñëè âûáðàòü äîñòàòî÷íî ìàëûìè ìîäóëè ðàçíîñòåé
ϕ(x) = ϕ1(x)−ϕ2(x), ϕ′ (x) = ϕ′1(x)−ϕ′2(x) è ψ(x) = ψ1 (x)−ψ2(x) íà [0, l].
   Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è (2.23), (2.24), (2.32) äî-
êàçàòåëüñòâî òåîðåìû ýêâèâàëåíòíî äîêàçàòåëüñòâó ñëåäóþùåãî ïðåäëî-
æåíèÿ. Ïóñòü óíêöèÿ u ∈ C 2 (QT ) óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
(2.25), îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.27) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì

                                         ∂u
                     u|t=0 = ϕ(x),                   = ψ(x) â (0, l).                     (2.33)
                                         ∂t    t=0

Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ìîæíî íàéòè òàêîå ÷èñëî δ = δ(ε), ÷òî ïðè

  max kϕkC[0,l], kϕ′kC[0,l], kψkC[0,l] < δ, (kϕkC[0,l] = max |ϕ(x)|) (2.34)
                                      
                                                                      x∈[0,l]

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

                           kukC(QT ) ≡ max |u(x, t)| < ε.                                 (2.35)
                                         (x,t)∈QT




                                               27

Страницы