ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
E(0) =
1
2
l
Z
0
"
ρ(x)
∂u
∂t
2
+ p(x)
∂u
∂x
2
+ q(x)u
2
#
t=0
dx = 0.
E(t) = 0
u(x, t) ≡ 0 Q
T
u
1
= u
2
∂u
∂x
− h
1
u
x=0
= g
1
(t),
∂u
∂x
+ h
2
u
x=l
= g
2
(t)
(0, T ].
h
1
h
2
u
u
1
u
2
u
i
|
t=0
= ϕ
i
(x),
∂u
i
∂t
t=0
= ψ
i
(x)
(0, l), i = 1, 2.
u = u
1
− u
2
Q
T
ϕ(x) = ϕ
1
(x)−ϕ
2
(x), ϕ
′
(x) = ϕ
′
1
(x)−ϕ
′
2
(x)
ψ(x) = ψ
1
(x)−ψ
2
(x) [0, l].
u ∈ C
2
(Q
T
)
u|
t=0
= ϕ(x),
∂u
∂t
t=0
= ψ(x)
(0, l).
ε > 0 δ = δ(ε)
max
kϕk
C[0,l]
, kϕ
′
k
C[0,l]
, kψk
C[0,l]
< δ, (kϕk
C[0,l]
= max
x∈[0,l]
|ϕ(x)|)
kuk
C(
Q
T
)
≡ max
(x,t)∈
Q
T
|u(x, t)| < ε.
Íî â ñèëó íà÷àëüíûõ óñëîâèé (2.26) èìååì Zl " 2 2 # 1 ∂u ∂u E(0) = ρ(x) + p(x) + q(x)u2 dx = 0. 2 ∂t ∂x 0 t=0 Òîãäà èç (2.30) ñëåäóåò, ÷òî E(t) = 0. Ïîñëåäíåå âîçìîæíî ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà u(x, t) ≡ 0 â QT , ò.å. u1 = u2 . Çàìå÷àíèå 2.2. Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå äîêàçûâàåòñÿ åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (2.23) ïðè óñëîâèÿõ 3-ãî ðîäà: ∂u ∂u − h1 u = g1 (t), + h2 u = g2(t) â (0, T ]. (2.31) ∂x x=0 ∂x x=l Çäåñü h1 è h2 íåîòðèöàòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Äîêàæåì òåïåðü óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ u çàäà÷è (2.23), (2.24), (2.3) ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Òåîðåìà 2.2. Ïóñòü u1 è u2 äâà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.23), óäîâëå- òâîðÿþùèå îäíèì è òåì æå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.24) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ∂ui ui |t=0 = ϕi (x), = ψi(x) â (0, l), i = 1, 2. (2.32) ∂t t=0 Òîãäà ðàçíîñòü u = u1 − u2 ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî ìàëîé ïî ìîäóëþ â QT , åñëè âûáðàòü äîñòàòî÷íî ìàëûìè ìîäóëè ðàçíîñòåé ϕ(x) = ϕ1(x)−ϕ2(x), ϕ′ (x) = ϕ′1(x)−ϕ′2(x) è ψ(x) = ψ1 (x)−ψ2(x) íà [0, l]. Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è (2.23), (2.24), (2.32) äî- êàçàòåëüñòâî òåîðåìû ýêâèâàëåíòíî äîêàçàòåëüñòâó ñëåäóþùåãî ïðåäëî- æåíèÿ. Ïóñòü óíêöèÿ u ∈ C 2 (QT ) óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (2.25), îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.27) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ∂u u|t=0 = ϕ(x), = ψ(x) â (0, l). (2.33) ∂t t=0 Òîãäà äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ìîæíî íàéòè òàêîå ÷èñëî δ = δ(ε), ÷òî ïðè max kϕkC[0,l], kϕ′kC[0,l], kψkC[0,l] < δ, (kϕkC[0,l] = max |ϕ(x)|) (2.34) x∈[0,l] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî kukC(QT ) ≡ max |u(x, t)| < ε. (2.35) (x,t)∈QT 27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »