Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

|u(x, t)| ≤
x
Z
0
dx
p(x)
1/2
·
x
Z
0
p(x)( u
x
)
2
dx
1/2
.
p(x) ≥ p
0
> 0
|u(x, t)| < M
1
δ ∀(x, t) ∈ Q
T
.
M
1
= l
p
3M/p
0
δ = ε/M
1
ϕ, ϕ
′
ψ
C[0, l]
l
Z
0
ϕ
2
(x)dx,
l
Z
0
[ϕ
′
(x)]
2
dx
l
Z
0
ψ
2
(x)dx.
u(0, t) = 0
|u(0, t)| |u(l, t)|
f C(Q
T
)
Èñïîëüçóÿ ýòî íåðàâåíñòâî, èìååì
                          x      1/2  x           1/2
                              dx 
                           Z             Z
             |u(x, t)| ≤             ·  p(x)(ux)2dx .               (2.40)
                             p(x)
                            0                 0

  Ó÷èòûâàÿ, ÷òî p(x) ≥ p0 > 0, è èñïîëüçóÿ (2.37), èç (2.40) âûâîäèì, ÷òî

                        |u(x, t)| < M1 δ ∀(x, t) ∈ QT .                (2.41)

Çäåñü M1 = l   3M/p0. Ïîëàãàÿ δ = ε/M1, ïðèõîäèì ê (2.35).
             p
   Çàìå÷àíèå 2.3. Òåîðåìà óñòîé÷èâîñòè èìååò ìåñòî è â ñëó÷àå áîëåå
îáùèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (ñì. [41, Ÿ 19℄).
   Çàìå÷àíèå 2.4. Àíàëèç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2.2 ïîêàçûâàåò, ÷òî
òðåáîâàíèå ìàëîñòè íà÷àëüíûõ óíêöèé ϕ, ϕ′ è ψ â íîðìå ïðîñòðàíñòâà
C[0, l] ìîæíî çàìåíèòü òðåáîâàíèåì ìàëîñòè èíòåãðàëîâ
                Zl              Zl                   Zl
                     ϕ2(x)dx,        [ϕ′ (x)]2dx è        ψ 2 (x)dx.
                0               0                    0

Ýòî ïîçâîëÿåò äîêàçûâàòü óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ è â äðóãèõ óíêöèîíàëü-
íûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Êðîìå òîãî, óñëîâèå u(0, t) = 0, èñïîëüçóåìîå ïðè âû-
âîäå (2.38), ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì ìàëîñòè |u(0, t)| èëè |u(l, t)|. Íàêî-
íåö, îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà-
÷è (2.23), (2.24), (2.3) ñïðàâåäëèâî òàêæå è ïî îòíîøåíèþ ê âîçìóùåíèÿì
ïðàâîé ÷àñòè f óðàâíåíèÿ (2.23) â íîðìå ïðîñòðàíñòâà C(QT ) (ñì., íàïðè-
ìåð, [41, Ÿ 19℄).




                                         29

Страницы