Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
) R
n
Γ Q
T
= Ω ×(0, T ] Q
T
∂
2
u
∂t
2
= Lu.
L
Lu =
n
X
i,j=1
∂
∂x
i
a
ij
(x)
∂u
∂x
j
− a(x)u,
a
ij
a Ω
a
ij
= a
ji
∈ C
1
(Ω), a ∈ C(Ω),
n
X
i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
≥ β
n
X
i=1
ξ
2
i
∀x ∈ Ω, β = const > 0, a(x) ≥ 0.
n
X
i,j=1
a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
,
L
Ω Ω
Q
T
u|
Γ
= 0 (0, T ]
u|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x)
Ω.
u(x, t) = v(x)T (t).
                Ÿ3. Ìíîãîìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå

  3.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ôóðüå. Ñâåäåíèå
ê ìíîãîìåðíîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å.           Ïóñòü Ω  íåêîòîðàÿ îãðàíè÷åí-
íàÿ îáëàñòü èçìåíåíèÿ òî÷åê x = (x1, x2 , ..., xn) ïðîñòðàíñòâà Rn ñ ãðàíèöåé
Γ. Ïîëàãàÿ QT = Ω × (0, T ], ðàññìîòðèì â QT ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà
                                 ∂ 2u
                                      = Lu.                              (3.1)
                                 ∂t2
Çäåñü L  ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð 2-ãî ïîðÿäêà âèäà
                           n                   
                         X     ∂            ∂u
                   Lu =             aij (x)       − a(x)u,               (3.2)
                              ∂xii,j=1
                                            ∂xj

êîýèöèåíòû aij è a êîòîðîãî îïðåäåëåíû â Ω è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì

                            aij = aji ∈ C 1(Ω), a ∈ C(Ω),
      n
      X                         n
                                X
              aij (x)ξiξj ≥ β         ξi2 ∀x ∈ Ω, β = const > 0, a(x) ≥ 0.   (3.3)
      i,j=1                     i=1

Ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (3.3), îçíà÷àþùåå ïîëîæèòåëüíîñòü êâàäðàòè÷íîé
îðìû
                             Xn
                                 aij (x)ξiξj ,
                                         i,j=1

âëå÷åò çà ñîáîé ðàâíîìåðíóþ ýëëèïòè÷íîñòü îïåðàòîðà L (ñì. Ÿ 1 ãë. 2) â
Ω. Îòñþäà, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò, ÷òî âñþäó â îáëàñòè Ω (3.1) ÿâëÿåòñÿ
óðàâíåíèåì ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà è, ñëåäîâàòåëüíî, îïèñûâàåò âîëíîâûå
ïðîöåññû.
   Èçó÷èì ïåðâóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (3.1): â îáëàñòè
QT íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.1), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
                                       u|Γ = 0 â (0, T ]                     (3.4)
è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                             ∂u
                       u|t=0 = ϕ0(x),                   = ϕ1(x) â Ω.         (3.5)
                                             ∂t   t=0

   Ñëåäóÿ ìåòîäó Ôóðüå, áóäåì èñêàòü ñíà÷àëà íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (3.1), óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.4), â âèäå ïðî-
èçâåäåíèÿ
                           u(x, t) = v(x)T (t).                   (3.6)

                                                 30

Страницы