Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

E
u
u ∈ C
2
(Q
T
)
Q
T
E(t) ≡ E(0)
E(t) ≡ E(0) =
1
2
l
Z
0
ρ(x)ψ
2
(x) + p(x) [ϕ
′
(x)]
2
+ q(x)ϕ
2
(x)
dx.
M = max{max
x∈[0,l]
ρ(x), max
x∈[0,l]
p(x), max
x∈[0,l]
q(x)}.
E(t) ≡
1
2
l
Z
0
[ρ(x)(u
t
)
2
+ p(x)(u
x
)
2
+ q(x)u
2
]dx <
3
2
Mlδ
2
.
l
Z
0
p(x)( u
x
)
2
dx < 3Mlδ
2
.
t ∈ [0, T ]
u [0, l] δ
u C(Q
T
)
u|
x=0
= 0
u(x, t) =
x
Z
0
u
x
dx.
|u(x, t)| ≤
x
Z
0
|u
x
|dx =
x
Z
0
1
p
p(x)
·
p
p(x)|u
x
|dx.
b
Z
a
f(x)g(x)dx
≤
b
Z
a
f
2
(x)dx
1/2
·
b
Z
a
g
2
(x)dx
1/2
.
   Îïÿòü ðàññìîòðèì èíòåãðàë ýíåðãèè Eu , îïðåäåëåííûé ñîîòíîøåíèåì
(2.28). Êàê áûëî âûøå ïîêàçàíî, äëÿ óíêöèè u ∈ C 2 (QT ), óäîâëåòâîðÿ-
þùåé óðàâíåíèþ (2.25) â QT è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.27), âûïîëíÿåòñÿ
òîæäåñòâî E(t) ≡ E(0). Ó÷èòûâàÿ (2.28) è (2.33), îòñþäà âûâîäèì, ÷òî
                         Zl
                 1
                                  ρ(x)ψ 2(x) + p(x)[ϕ′(x)]2 + q(x)ϕ2(x) dx.           (2.36)
                              
   E(t) ≡ E(0) =
                 2
                         0

  Ïóñòü
                  M = max{max ρ(x), max p(x), max q(x)}.
                                      x∈[0,l]          x∈[0,l]        x∈[0,l]

Òîãäà èç (2.36) âûâîäèì ñ ó÷åòîì (2.34), ÷òî
                     Zl
                 1                                            3
          E(t) ≡          [ρ(x)(ut)2 + p(x)(ux)2 + q(x)u2]dx < Mlδ 2 .
                 2                                            2
                     0

Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî
                                  Zl
                                       p(x)(ux)2 dx < 3Mlδ 2 .                        (2.37)
                                  0

   Íåðàâåíñòâî (2.37) îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò t ∈ [0, T ] íåêîòîðàÿ
íîðìà óíêöèè u íà èíòåðâàëå [0, l] ìàëà ïðè ìàëûõ δ . Èñïîëüçóÿ ýòîò
àêò, òåïåðü íåòðóäíî ïîêàçàòü è ìàëîñòü íîðìû u â C(QT ). Äåéñòâè-
òåëüíî, èñïîëüçóÿ îðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, èìååì ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ
u|x=0 = 0, ÷òî
                                      Zx
                            u(x, t) = uxdx.                         (2.38)
                                                        0
Èç (2.38) ïîëó÷àåì, ÷òî
                              Zx                   Zx
                                                                1     p
                |u(x, t)| ≤            |ux |dx =            p        · p(x)|ux |dx.   (2.39)
                                                                p(x)
                                  0                0

  Îöåíèì ïðàâóþ ÷àñòü (2.39). Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì èçâåñòíîå íåðàâåíñòâî
ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî
                                       1/2  b        1/2
          Zb
                            b
                            Z                Z
             f (x)g(x)dx ≤  f 2(x)dx ·  g 2 (x)dx .
            a                               a                          a

                                                   28

Страницы