Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

C
2
(Q
T
) u =
u
1
− u
2
ρ(x)
∂
2
u
∂t
2
=
∂
∂x
p(x)
∂u
∂x
− q(x)u
(x, t) ∈ Q
T
u|
t=0
= 0,
∂u
∂t
t=0
= 0
(0, l)
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0 (0, T ].
u(x, t) ≡ 0 Q
T
E(t) = E
u
(t) =
1
2
l
Z
0
"
ρ(x)
∂u
∂t
2
+ p(x)
∂u
∂x
2
+ q(x)u
2
#
dx.
t E t
dE(t)
dt
=
l
Z
0
ρ(x)
∂u
∂t
∂
2
u
∂t
2
+ p(x)
∂u
∂x
∂
2
u
∂x∂t
+ q(x)u
∂u
∂t
dx.
u Q
T
dE(t)
dt
=
l
Z
0
ρ(x)
∂
2
u
∂t
2
−
∂
∂x
p(x)
∂u
∂x
+ q(x)u
∂u
∂t
dx + p(x)
∂u
∂x
∂u
∂t
x=l
x=0
.
u
Q
T
∂u
∂t
x=0
= 0
∂u
∂t
x=l
= 0
dE(t)
dt
= 0,
E(t) = const [0, T ].
çàäà÷è (2.23), (2.24), (2.3) èç ïðîñòðàíñòâà C 2 (QT ). Òîãäà èõ ðàçíîñòü u =
u1 − u2 óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
                            ∂ 2u
                                              
                                   ∂        ∂u
                       ρ(x) 2 =        p(x)      − q(x)u                (2.25)
                            ∂t     ∂x       ∂x

â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ QT , íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì

                                            ∂u
                               u|t=0 = 0,              = 0 â (0, l)                       (2.26)
                                            ∂t   t=0
è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

                           u|x=0 = 0,       u|x=l = 0 â (0, T ].                          (2.27)

Äîêàæåì, ÷òî u(x, t) ≡ 0 â QT .
  Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå èíòåãðàë ýíåðãèè
                    Zl "      2         2         #
                  1           ∂u          ∂u
   E(t) = Eu(t) =       ρ(x)      + p(x)      + q(x)u2 dx.                                (2.28)
                  2           ∂t          ∂x
                           0

Ïîêàæåì, ÷òî îí íå çàâèñèò îò t. Äåéñòâèòåëüíî, äèåðåíöèðóÿ E ïî t,
èìååì
                    Zl 
                             ∂u ∂ 2u        ∂u ∂ 2u
                                                               
       dE(t)                                                ∂u
             =          ρ(x)         + p(x)         + q(x)u      dx.                      (2.29)
        dt                   ∂t ∂t2         ∂x ∂x∂t         ∂t
                    0

Äèåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà âîçìîæíî â ñèëó íåïðåðûâíî-
ñòè âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ðåøåíèÿ u â QT . Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì ñðåäíèé
÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè (2.29), áóäåì èìåòü
                                                                                          x=l
            Zl            2
                                                               
  dE(t)                   ∂ u   ∂       ∂u                           ∂u           ∂u ∂u
        =          ρ(x)       −    p(x)                + q(x)u          dx + p(x)               .
   dt                     ∂t2   ∂x      ∂x                           ∂t           ∂x ∂t
            0                                                                             x=0

Ïîñêîëüêó óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (2.25) âñþäó
â QT è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.27), â ñèëó êîòîðûõ ∂u
                                                             ∂t x=0 = 0,
∂u
 ∂t x=l = 0, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ðàâíà íóëþ. Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî
                  dE(t)
                        = 0, ò.å. E(t) = const â [0, T ].         (2.30)
                   dt


                                                 26

Страницы