ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
C
2
(Q
T
) u =
u
1
− u
2
ρ(x)
∂
2
u
∂t
2
=
∂
∂x
p(x)
∂u
∂x
− q(x)u
(x, t) ∈ Q
T
u|
t=0
= 0,
∂u
∂t
t=0
= 0
(0, l)
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0 (0, T ].
u(x, t) ≡ 0 Q
T
E(t) = E
u
(t) =
1
2
l
Z
0
"
ρ(x)
∂u
∂t
2
+ p(x)
∂u
∂x
2
+ q(x)u
2
#
dx.
t E t
dE(t)
dt
=
l
Z
0
ρ(x)
∂u
∂t
∂
2
u
∂t
2
+ p(x)
∂u
∂x
∂
2
u
∂x∂t
+ q(x)u
∂u
∂t
dx.
u Q
T
dE(t)
dt
=
l
Z
0
ρ(x)
∂
2
u
∂t
2
−
∂
∂x
p(x)
∂u
∂x
+ q(x)u
∂u
∂t
dx + p(x)
∂u
∂x
∂u
∂t
x=l
x=0
.
u
Q
T
∂u
∂t
x=0
= 0
∂u
∂t
x=l
= 0
dE(t)
dt
= 0,
E(t) = const [0, T ].
çàäà÷è (2.23), (2.24), (2.3) èç ïðîñòðàíñòâà C 2 (QT ). Òîãäà èõ ðàçíîñòü u = u1 − u2 óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ ∂ 2u ∂ ∂u ρ(x) 2 = p(x) − q(x)u (2.25) ∂t ∂x ∂x â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ QT , íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ∂u u|t=0 = 0, = 0 â (0, l) (2.26) ∂t t=0 è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì u|x=0 = 0, u|x=l = 0 â (0, T ]. (2.27) Äîêàæåì, ÷òî u(x, t) ≡ 0 â QT . Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå èíòåãðàë ýíåðãèè Zl " 2 2 # 1 ∂u ∂u E(t) = Eu(t) = ρ(x) + p(x) + q(x)u2 dx. (2.28) 2 ∂t ∂x 0 Ïîêàæåì, ÷òî îí íå çàâèñèò îò t. Äåéñòâèòåëüíî, äèåðåíöèðóÿ E ïî t, èìååì Zl ∂u ∂ 2u ∂u ∂ 2u dE(t) ∂u = ρ(x) + p(x) + q(x)u dx. (2.29) dt ∂t ∂t2 ∂x ∂x∂t ∂t 0 Äèåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà âîçìîæíî â ñèëó íåïðåðûâíî- ñòè âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ðåøåíèÿ u â QT . Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì ñðåäíèé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè (2.29), áóäåì èìåòü x=l Zl 2 dE(t) ∂ u ∂ ∂u ∂u ∂u ∂u = ρ(x) − p(x) + q(x)u dx + p(x) . dt ∂t2 ∂x ∂x ∂t ∂x ∂t 0 x=0 Ïîñêîëüêó óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (2.25) âñþäó â QT è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.27), â ñèëó êîòîðûõ ∂u ∂t x=0 = 0, ∂u ∂t x=l = 0, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ðàâíà íóëþ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî dE(t) = 0, ò.å. E(t) = const â [0, T ]. (2.30) dt 26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »