Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Z
Ω
v
k
(x)v
m
(x)dx = 0, λ
k
6= λ
m
,
λ
k
{v
k
}
λ
k
Lv
k
= −λ
k
v
k
v
k
Ω
λ
k
= −
Z
Ω
v
k
(x)Lv
k
(x)dx = −
Z
Ω
v
k
(x)
"
n
X
i,j=1
∂
∂x
i
a
ij
(x)
∂v
k
∂x
j
− a(x)v
k
(x)
#
dx.
R
n
Z
Ω
∂u
∂x
i
vdx = −
Z
Ω
u
∂v
∂x
i
dx +
Z
Γ
uv cos(n, x
i
)ds, i = 1, 2, ..., n,
n Γ
λ
k
=
Z
Ω
"
n
X
i,j=1
a
ij
(x)
∂v
k
∂x
i
∂v
k
∂x
j
+ a(x)v
2
k
(x)
#
dx.
Γ Ω
v
k
|
Γ
= 0
λ
k
≥
Z
Ω
"
β
n
X
i=1
∂v
k
∂x
i
2
+ a(x)v
2
k
(x)
#
dx.
λ
1
> 0
ò. å. áóäåì ñ÷èòàòü èõ íîðìèðîâàííûìè. Áîëåå òîãî, ñîáñòâåííûå óíêöèè,
îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû, òàê ÷òî
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
                      Z
                         vk (x)vm(x)dx = 0, λk 6= λm ,
                     Ω

è îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó óíêöèé â ïîäõîäÿùåì óíêöèîíàëüíîì ïðî-
ñòðàíñòâå. Åñëè ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λk îòâå÷àåò íåñêîëüêî ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ óíêöèé, òî èõ ìîæíî ïîäâåðãíóòü ïðîöåññó
îðòîãîíàëèçàöèè è ñ÷èòàòü òåì ñàìûì ýòè óíêöèè ïîïàðíî îðòîãîíàëü-
íûìè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå óíêöèè {vk }
ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.8), (3.9) îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó.
   Îãðàíè÷èìñÿ çäåñü äîêàçàòåëüñòâîì ñâîéñòâà íåîòðèöàòåëüíîñòè ñîá-
ñòâåííûõ çíà÷åíèé λk . Ñîãëàñíî èõ îïðåäåëåíèþ èìååì Lvk = −λk vk .
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà vk è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáëàñòè
Ω. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (3.11), ïîëó÷èì
                                     " n                                 #
       Z                     Z         X ∂            ∂vk
                                                           
λk = − vk (x)Lvk (x)dx = − vk (x)              aij (x)       − a(x)vk (x) dx.
                                          ∂xi          ∂xj
                                                    i,j=1
       Ω                             Ω

Ïðèìåíÿÿ ê ïåðâîìó ñëàãàåìîìó ïðàâîé ÷àñòè îðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ
ïî ÷àñòÿì â Rn
          ∂u           ∂v
       Z            Z          Z
             vdx = − u     dx + uv cos(n, xi)ds, i = 1, 2, ..., n,
         ∂xi           ∂xi
       Ω                 Ω                 Γ

ãäå n  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ãðàíèöå Γ (ñì., íàïðèìåð, [34,
ñ. 104℄), áóäåì èìåòü
                      Z "Xn
                                                        #
                                    ∂vk ∂vk
                 λk =       aij (x)         + a(x)vk2(x) dx.      (3.12)
                             i,j=1
                                    ∂xi ∂xj
                     Ω

(Èíòåãðàë ïî ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω ðàâåí íóëþ â ñèëó ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ
vk |Γ = 0). Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñ ó÷åòîì ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ â (3.3)
âûâîäèì, ÷òî
                      Z " X  n      2             #
                                 ∂vk
                 λk ≥     β             + a(x)vk2(x) dx.         (3.13)
                                 ∂xi i=1
                         Ω

Èç (3.13) ñëåäóåò, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.8),
(3.9) íà ñàìîì äåëå ïîëîæèòåëüíû, òàê ÷òî â äîïîëíåíèå ê (3.10) èìååì
λ1 > 0.

                                               32

Страницы