Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ρ
∂
2
u
∂t
2
= div(pgradu) − qu + f,
u|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x)
Ω, αu + β
∂u
∂n
Γ
= 0
(0, T ]
Ω R
2
Ω = (0 <
x < l, 0 < y < h) x, y l h
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
Q
T
= Ω × (0, T ],
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0, u|
y=0
= 0, u|
y=h
= 0 (0, T ]
u|
t=0
= ϕ
0
(x, y) ,
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x, y)
Ω.
l h
ϕ
0
ϕ
1
u(x, y, t) = v(x, y) T (t).
T
′′
(t)
a
2
T (t)
=
v
xx
+ v
yy
v
= −λ
2
,
λ
2
T
′′
(t) + a
2
λ
2
T (t) = 0
    ×òî êàñàåòñÿ óòâåðæäåíèé î åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ
ìíîãîìåðíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è, òî ïî ñâîèì îðìóëèðîâêàì îíè
áëèçêè ê îðìóëèðîâêàì òåîðåì 2.1 è 2.2 èç Ÿ 2.  ñëó÷àå êðàåâîé çàäà÷è
âèäà
                         ∂ 2u
                       ρ 2 = div(pgradu) − qu + f,
                         ∂t
                     ∂u                           ∂u
     u|t=0 = ϕ0(x),          = ϕ1(x) â Ω, αu + β       = 0 â (0, T ]
                     ∂t t=0                       ∂n Γ
ñîîòâåòñòâóþùèå îðìóëèðîâêè òåîðåì è èõ äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî íàéòè
â [11, Ÿ 33℄. Èçëîæåííàÿ âûøå ñõåìà áóäåò ïðèìåíåíà íèæå äëÿ íàõîæäåíèÿ
ðåøåíèÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè â ÷àñòíûõ
ñëó÷àÿõ, êîãäà Ω ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì ëèáî êðóãîì íà ïëîñêîñòè R2 .
  3.2. Äâóìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå â ïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè.
Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìåìáðàíû.           Ïóñòü Ω = (0 <
x < l, 0 < y < h)  ïðÿìîóãîëüíèê â ïëîñêîñòè x, y ñî ñòîðîíàìè l è h.
àññìîòðèì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ
              ∂ 2u
                       2
                              ∂ 2u
                                   
                     2 ∂ u
                   =a       +        â QT = Ω × (0, T ],        (3.19)
              ∂t2       ∂x2 ∂y 2
óäîâëåòâîðÿþùåãî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
       u|x=0 = 0, u|x=l = 0, u|y=0 = 0, u|y=h = 0 â (0, T ]       (3.20)
è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                   ∂u
               u|t=0 = ϕ0(x, y),              = ϕ1(x, y) â Ω.     (3.21)
                                   ∂t   t=0
Çàäà÷à (3.19)(3.21) îïèñûâàåò, íàïðèìåð, ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ïðÿìîóãîëü-
íîé ìåìáðàíû ñî ñòîðîíàìè l è h, çàêðåïëåííîé íà êðàÿõ, ïîä äåéñòâèåì
åå íà÷àëüíîãî îòêëîíåíèÿ, îïèñûâàåìîãî óíêöèåé ϕ0 , è íà÷àëüíîãî èì-
ïóëüñà, îïèñûâàåìîãî óíêöèåé ϕ1 .
   Ñëåäóÿ ìåòîäó Ôóðüå, áóäåì èñêàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.19),
óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3.20), â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
                         u(x, y, t) = v(x, y)T (t).               (3.22)
Ïîäñòàâëÿÿ (3.22) â (3.19) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, áóäåì èìåòü
                       T ′′(t)   vxx + vyy
                        2
                               =           = −λ2 ,
                       a T (t)       v
ãäå λ2  êîíñòàíòà ðàçäåëåíèÿ. Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ (3.20), ïðèõîäèì
ê îáûêíîâåííîìó äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
                          T ′′ (t) + a2 λ2 T (t) = 0              (3.23)

                                     34

Страницы