Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

λ
k
v
k
λ λ
k
T
k
(t) = a
k
cos
√
λ
k
t + b
k
sin
√
λ
k
t,
a
k
b
k
u
k
u
k
(x, t) = T
k
(t)v
k
(x) = (a
k
cos
√
λ
k
t + b
k
sin
√
λ
k
t)v
k
(x).
λ
k
u(x, t) =
∞
X
k=1
(a
k
cos
√
λ
k
t + b
k
sin
√
λ
k
t)v
k
(x)
a
k
b
k
ϕ
0
(x) =
∞
X
k=1
a
k
v
k
(x), ϕ
1
(x) =
∞
X
k=1
b
k
p
λ
k
v
k
(x).
ϕ
0
ϕ
1
{v
k
} {v
k
}
a
k
b
k
{v
k
}
λ
k
> 0
a
k
=
Z
Ω
ϕ
0
(x)v
k
(x)dx, b
k
=
1
√
λ
k
Z
Ω
ϕ
1
(x)v
k
(x)dx, k = 1, 2, ... .
a
k
b
k
u
x
i
t
ϕ
0
ϕ
1
   Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λk è óíêöèè vk ñïåêòðàëüíîé
çàäà÷è (3.8), (3.9) èçâåñòíû, ïîäñòàâèì äàëåå â (3.7) âìåñòî λ çíà÷åíèå λk
è çàïèøåì îáùåå ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â âèäå
                                      √             √
                       Tk (t) = ak cos λk t + bk sin λk t,           (3.14)

ãäå ak è bk  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. åøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1), óäî-
âëåòâîðÿþùèì ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.4), ÿâëÿåòñÿ ïî ïîñòðîåíèþ ëþáàÿ
óíêöèÿ uk âèäà
                                          √             √
        uk (x, t) = Tk (t)vk (x) = (ak cos λk t + bk sin λk t)vk (x). (3.15)

Äåéñòâóÿ äàëåå ïî ñòàíäàðòíîé ñõåìå ìåòîäà Ôóðüå, ñîñòàâèì (ñ ó÷åòîì
êðàòíîñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λk ) ðÿä
                            ∞
                            X              √             √
                u(x, t) =           (ak cos λk t + bk sin λk t)vk (x)   (3.16)
                              k=1

è âûáåðåì â íåì êîýèöèåíòû ak , bk òàê, ÷òîáû ñóììà ðÿäà (3.16) óäîâëå-
òâîðÿëà íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (3.5).  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì
ñîîòíîøåíèÿì:
                        ∞
                        X                        ∞
                                                 X   p
              ϕ0(x) =         ak vk (x), ϕ1(x) =   bk λk vk (x).        (3.17)
                        k=1                          k=1

Ýòè ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçëîæåíèÿ íà÷àëüíûõ óíêöèé ϕ0 è
ϕ1 â ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ óíêöèé {vk }. Åñëè ñèñòåìà {vk }
ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé, òî êîýèöèåíòû ak è bk îïðåäåëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûì
îáðàçîì è èìåþò ñ ó÷åòîì îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåìû {vk } è óñëîâèÿ
λk > 0 âèä
                               1
        Z                         Z
   ak = ϕ0(x)vk (x)dx, bk = √       ϕ1 (x)vk (x)dx, k = 1, 2, ... . (3.18)
                               λk
        Ω                                  Ω

   Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ êîýèöèåíòîâ ak è bk â ðÿä (3.16), ïî-
ëó÷èì óíêöèþ u, ÿâëÿþùóþñÿ ïî ïîñòðîåíèþ èñêîìûì ðåøåíèåì íà÷àëüíî-
êðàåâîé çàäà÷è (3.1), (3.4), (3.5) ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ÷òî ðÿä (3.16) è ðÿ-
äû, ïîëó÷åííûå èç íåãî äâóõêðàòíûì ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì ïî
xi è t, ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ îáëàñòÿõ. Ïîñëåäíåå îáåñ-
ïå÷èâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì òåîðåìû 1.1, ñïðà-
âåäëèâûì ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåëåííûõ óñëîâèé íà íà÷àëüíûå óíêöèè
ϕ0 è ϕ1 è îïðåäåëåííûõ ñâîéñòâàõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ
óíêöèé.

                                            33

Страницы