Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

T
∂
2
v
∂x
2
+
∂
2
v
∂y
2
+ λ
2
v = 0
Ω,
v|
x=0
= 0, v|
x=l
= 0, v|
y=0
= 0, v|
y=h
= 0
λ
2
v
Ω
v(x, y) = X(x)Y (y).
Y
′′
Y
+ λ
2
= −
X
′′
X
= λ
2
1
,
λ
2
1
X
′′
(x) + λ
2
1
X(x) = 0, Y
′′
(y) + λ
2
2
Y (y) = 0
X Y λ
2
1
λ
2
2
λ
2
−λ
2
2
+ λ
2
= λ
2
1
λ
2
= λ
2
1
+ λ
2
2
.
X Y
X(0) = 0, X(l) = 0, Y (0) = 0, Y (h) = 0 .
X
′′
+ λ
2
1
X = 0 (0, l), X(0) = X(l) = 0,
Y
′′
+ λ
2
2
Y = 0 (0, h), Y (0) = Y (h) = 0.
λ
2
1,m
=
mπ
l
2
, X
m
(x) = sin
mπ
l
x, m = 1, 2, 3, ...,
äëÿ óíêöèè T è äâóìåðíîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å

                        ∂ 2v ∂ 2v
                           2
                             + 2 + λ2 v = 0 â Ω,                       (3.24)
                        ∂x    ∂y
               v|x=0 = 0, v|x=l = 0, v|y=0 = 0, v|y=h = 0              (3.25)
(ñî ñïåêòðàëüíûì ïàðàìåòðîì λ2 ) äëÿ óíêöèè v .
   Íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ ñïåêòðàëüíîé
çàäà÷è (3.24), (3.25), ò.å. íàõîæäåíèå âñåõ åå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîá-
ñòâåííûõ óíêöèé. Ïîñêîëüêó îáëàñòü Ω ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé, à êðà-
åâûå óñëîâèÿ (3.25)  îäíîðîäíûìè, òî äëÿ ýòîãî îïÿòü ìîæíî ïðèìåíèòü
ìåòîä Ôóðüå. Ñëåäóÿ åìó, áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ (ò. å. ñîáñòâåííûå óíê-
öèè) ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.24), (3.25) â âèäå

                            v(x, y) = X(x)Y (y).                       (3.26)

Ïîäñòàâëÿÿ (3.26) â (3.24) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, áóäåì èìåòü
                           Y ′′   2   X ′′
                                +λ =−      = λ21 ,
                           Y          X
ãäå λ21  ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîíñòàíòà ðàçäåëåíèÿ. Îòñþäà ïîëó÷àåì äâà
îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ:

                X ′′ (x) + λ21X(x) = 0, Y ′′(y) + λ22 Y (y) = 0        (3.27)

äëÿ óíêöèé X è Y . Â óðàâíåíèÿõ (3.27) λ21 è λ22  ñïåêòðàëüíûå ïàðà-
ìåòðû, ñâÿçàííûå ñî ñïåêòðàëüíûì ïàðàìåòðîì λ2 çàäà÷è (3.24), (3.25)
ñîîòíîøåíèåì
                 −λ22 + λ2 = λ21 èëè λ2 = λ21 + λ22 .            (3.28)
Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (3.25) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ
X è Y:
             X(0) = 0, X(l) = 0, Y (0) = 0, Y (h) = 0.         (3.29)
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì äâóì îäíîìåðíûì ñïåêòðàëüíûì çà-
äà÷àì
                X ′′ + λ21 X = 0 â (0, l), X(0) = X(l) = 0,  (3.30)
                 Y ′′ + λ22 Y = 0 â (0, h), Y (0) = Y (h) = 0.         (3.31)
Èç ðåçóëüòàòî⠟ 1 ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç çàäà÷ (3.30), (3.31) èìååò ñ÷åòíîå
ìíîæåñòâî ðåøåíèé  ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è îòâå÷àþùèõ èì ñîáñòâåííûõ
óíêöèé. Óêàçàííûå ðåøåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè
                     mπ 2                mπ
             2
           λ1,m =           , Xm (x) = sin    x, m = 1, 2, 3, ...,     (3.32)
                       l                    l
                                      35

Страницы