Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂u
∂t
|
t=0
= ϕ
1
(x, y) =
∞
X
m,n=1
aλ
mn
b
mn
sin
mπx
l
sin
nπy
h
.
ϕ
0
ϕ
1
l
Z
0
h
Z
0
v
2
mn
(x, y)dxdy =
l
Z
0
sin
2
mπx
l
dx
h
Z
0
sin
2
nπy
h
dy =
lh
4
.
a
mn
b
mn
ϕ
0
ϕ
1
a
mn
=
4
lh
l
Z
0
h
Z
0
ϕ
0
(x, y)sin
mπx
l
sin
nπy
h
dxdy,
b
mn
=
4
aλ
mn
lh
l
Z
0
h
Z
0
ϕ
1
(x, y)sin
mπx
l
sin
nπy
h
dxdy.
a
mn
b
mn
u
a
mn
= α
mn
sinϕ
mn
, b
mn
= α
mn
cosϕ
mn
,
u(x, y, t) =
∞
X
m,n=1
α
mn
sin
mπx
l
sin
nπy
h
sin(aλ
mn
t + ϕ
mn
).
u
mn
(x, y, t) = α
mn
sin
mπx
l
sin
nπy
h
sin(aλ
mn
t + ϕ
mn
).
                                     ∞
               ∂u                    X                 mπx nπy
                  |t=0 = ϕ1(x, y) =       aλmn bmn sin    sin   .                      (3.38)
               ∂t                   m,n=1
                                                        l     h
àâåíñòâà (3.38) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçëîæåíèÿ çàäàííûõ óíêöèé ϕ0 è
ϕ1 â äâîéíûå ðÿäû Ôóðüå ïî ñèíóñàì (3.35). Õîðîøî èçâåñòíî (ñì., íàïðè-
ìåð, [19, . 362℄), ÷òî óêàçàííàÿ ñèñòåìà ñèíóñîâ (3.35) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé,
ïðè÷åì
      Z l Zh                            Zl                    Zh
                2                                    mπx                  nπy     lh
               vmn (x, y)dxdy =                 sin2     dx        sin2       dy = .   (3.39)
                                                      l                    h       4
       0   0                            0                     0

Ñ ó÷åòîì ýòîãî êîýèöèåíòû amn è bmn ýòèõ ðàçëîæåíèé îïðåäåëÿþòñÿ
îäíîçíà÷íî ïî ϕ0 è ϕ1 ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé
                                Z l Zh
                           4                              mπx nπy
                  amn   =                   ϕ0(x, y)sin      sin   dxdy,
                          lh                               l     h
                                0   0

                                    Z l Zh
                            4                                  mπx nπy
                bmn =                            ϕ1(x, y)sin      sin   dxdy.          (3.40)
                        aλmn lh                                 l     h
                                    0       0
Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ êîýèöèåíòîâ amn è bmn â ðÿä (3.37), ïî-
ëó÷èì óíêöèþ u, ÿâëÿþùóþñÿ ïî ïîñòðîåíèþ èñêîìûì ðåøåíèåì èñõîä-
íîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (3.19)(3.21) (ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ðàâíî-
ìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (3.37) è ðÿäîâ, ïîëó÷åííûõ èç íåãî äâóõêðàòíûì
ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì).
  3.3. Ôèçè÷åñêèé àíàëèç ðåøåíèÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â ïðÿ-
ìîóãîëüíèêå.    Ïðîâåäåì èçè÷åñêèé àíàëèç ïîëó÷åííîãî âûøå ðåøåíèÿ
çàäà÷è (3.19)(3.21) â âèäå ðÿäà (3.37). Ââåäåì àíàëîãè÷íî îäíîìåðíîìó
ñëó÷àþ (ñì. ï. 1.3) îáîçíà÷åíèÿ
                      amn = αmn sinϕmn, bmn = αmn cosϕmn,                              (3.41)
ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ïåðåïèøåì (3.37) â âèäå
                        ∞
                        X                    mπx     nπy
       u(x, y, t) =           αmn sin            sin     sin(aλmn t + ϕmn).            (3.42)
                      m,n=1
                                              l       h

Ôîðìóëà (3.42) îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (3.19)(3.21), îïèñûâàþùåå
ïðîöåññ êîëåáàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìåìáðàíû, ñëàãàåòñÿ èç áåñ÷èñëåííîãî
ìíîæåñòâà (äâîéíîãî ðÿäà) ñîáñòâåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé âèäà
                                   mπx     nπy
           umn (x, y, t) = αmn sin     sin     sin(aλmn t + ϕmn). (3.43)
                                    l       h
                                                    37

Страницы