Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

λ
2
2,n
=
nπ
h
2
, Y
n
(y) = sin
nπ
h
y, n = 1, 2, 3, ... .
(λ
2
1,m
, λ
2
2,n
)
λ
2
mn
= λ
2
1,m
+ λ
2
2,n
= π
2
m
2
l
2
+
n
2
h
2
v
mn
v
mn
(x, y) = sin
mπx
l
sin
nπy
h
.
(λ
2
mn
, v
mn
) m ∈ N
+
n ∈ N
+
u
λ
2
λ
2
mn
T
mn
(t) = a
mn
cosaλ
mn
t + b
mn
sinaλ
mn
t,
a
mn
b
mn
u
mn
(x, y, t) = (a
mn
cosaλ
mn
t + b
mn
sinaλ
mn
t)sin
mπx
l
sin
nπy
h
, m, n = 1, 2, ... .
u(x, y, t) =
∞
X
m,n=1
(a
mn
cosaλ
mn
t + b
mn
sinaλ
mn
t)sin
mπx
l
sin
nπy
h
.
Q
T
x, y t
Q
T
u|
t=0
= ϕ
0
(x, y) =
∞
X
m,n=1
a
mn
sin
mπx
l
sin
nπy
h
,
                           nπ 2          nπ
              λ22,n   =             , Yn(y) = sin
                                               y, n = 1, 2, 3, ... . (3.33)
                      h                     h
Èç (3.28) âûòåêàåò, ÷òî êàæäîé ïàðå (λ21,m , λ22,n) óêàçàííûõ ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé îòâå÷àåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
                                               2      2
                                                         
                                                m    n
                   λ2mn = λ21,m + λ22,n = π 2      + 2               (3.34)
                                                l2   h
äâóìåðíîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.24), (3.25), à èç (3.26) âûòåêàåò, ÷òî
îòâå÷àþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ (3.34) ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ vmn äâó-
ìåðíîé çàäà÷è (3.24), (3.25) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                        mπx nπy
                        vmn(x, y) = sin    sin   .               (3.35)
                                         l     h
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñîâîêóïíîñòü (λ2mn, vmn), m ∈ N+ , n ∈ N+ èñ÷åðïûâà-
åò ìíîæåñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è óíêöèé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è
(3.24), (3.25). Ýòî âûòåêàåò èç ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû (3.35) è èç ñâîéñòâ ðå-
øåíèé îäíîìåðíûõ çàäà÷ (3.30) è (3.31).
   Èñïîëüçóÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è óíêöèè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.24),
(3.25), äàëåå ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ðåøåíèå u íà÷àëüíî-
êðàåâîé çàäà÷è (3.19)(3.21). Ïðåæäå âñåãî ïîäñòàâèì â (3.23) âìåñòî λ2
çíà÷åíèå λ2mn . Îáùåå ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ, î÷åâèäíî, èìååò âèä
                      Tmn(t) = amn cosaλmn t + bmn sinaλmn t,                (3.36)
ãäå amn è bmn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.  òàêîì ñëó÷àå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (3.19), óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3.20), îïðåäåëÿ-
þòñÿ îðìóëîé
                                                   mπx nπy
 umn (x, y, t) = (amn cosaλmn t + bmnsinaλmn t)sin    sin   , m, n = 1, 2, ... .
                                                    l     h
×òîáû óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (3.21), ñîñòàâèì ðÿä
                   ∞
                   X                                            mπx nπy
    u(x, y, t) =          (amncosaλmn t + bmn sinaλmn t)sin        sin   .   (3.37)
                   m,n=1
                                                                 l     h

   Åñëè ðÿä (3.37) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â îáëàñòè QT , à ðÿäû, ïîëó÷åííûå
èç íåãî äâóõêðàòíûì ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì ïî x, y è t, ðàâ-
íîìåðíî ñõîäÿòñÿ âíóòðè QT , òî åãî ñóììà ïî ïîñòðîåíèþ áóäåò óäîâëå-
òâîðÿòü óðàâíåíèþ (3.19) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3.20). Äëÿ âûïîëíåíèÿ
íà÷àëüíûõ óñëîâèé íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ
                                           ∞
                                           X                mπx nπy
                   u|t=0 = ϕ0 (x, y) =            amn sin      sin   ,
                                          m,n=1
                                                             l     h

                                            36

Страницы