ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
λ
2
2,n
=
nπ
h
2
, Y
n
(y) = sin
nπ
h
y, n = 1, 2, 3, ... .
(λ
2
1,m
, λ
2
2,n
)
λ
2
mn
= λ
2
1,m
+ λ
2
2,n
= π
2
m
2
l
2
+
n
2
h
2
v
mn
v
mn
(x, y) = sin
mπx
l
sin
nπy
h
.
(λ
2
mn
, v
mn
) m ∈ N
+
n ∈ N
+
u
λ
2
λ
2
mn
T
mn
(t) = a
mn
cosaλ
mn
t + b
mn
sinaλ
mn
t,
a
mn
b
mn
u
mn
(x, y, t) = (a
mn
cosaλ
mn
t + b
mn
sinaλ
mn
t)sin
mπx
l
sin
nπy
h
, m, n = 1, 2, ... .
u(x, y, t) =
∞
X
m,n=1
(a
mn
cosaλ
mn
t + b
mn
sinaλ
mn
t)sin
mπx
l
sin
nπy
h
.
Q
T
x, y t
Q
T
u|
t=0
= ϕ
0
(x, y) =
∞
X
m,n=1
a
mn
sin
mπx
l
sin
nπy
h
,
nπ 2 nπ λ22,n = , Yn(y) = sin y, n = 1, 2, 3, ... . (3.33) h h Èç (3.28) âûòåêàåò, ÷òî êàæäîé ïàðå (λ21,m , λ22,n) óêàçàííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îòâå÷àåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå 2 2 m n λ2mn = λ21,m + λ22,n = π 2 + 2 (3.34) l2 h äâóìåðíîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.24), (3.25), à èç (3.26) âûòåêàåò, ÷òî îòâå÷àþùàÿ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ (3.34) ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ vmn äâó- ìåðíîé çàäà÷è (3.24), (3.25) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé mπx nπy vmn(x, y) = sin sin . (3.35) l h Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñîâîêóïíîñòü (λ2mn, vmn), m ∈ N+ , n ∈ N+ èñ÷åðïûâà- åò ìíîæåñòâî âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è óíêöèé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.24), (3.25). Ýòî âûòåêàåò èç ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû (3.35) è èç ñâîéñòâ ðå- øåíèé îäíîìåðíûõ çàäà÷ (3.30) è (3.31). Èñïîëüçóÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è óíêöèè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.24), (3.25), äàëåå ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü ðåøåíèå u íà÷àëüíî- êðàåâîé çàäà÷è (3.19)(3.21). Ïðåæäå âñåãî ïîäñòàâèì â (3.23) âìåñòî λ2 çíà÷åíèå λ2mn . Îáùåå ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ, î÷åâèäíî, èìååò âèä Tmn(t) = amn cosaλmn t + bmn sinaλmn t, (3.36) ãäå amn è bmn ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.  òàêîì ñëó÷àå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.19), óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3.20), îïðåäåëÿ- þòñÿ îðìóëîé mπx nπy umn (x, y, t) = (amn cosaλmn t + bmnsinaλmn t)sin sin , m, n = 1, 2, ... . l h ×òîáû óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (3.21), ñîñòàâèì ðÿä ∞ X mπx nπy u(x, y, t) = (amncosaλmn t + bmn sinaλmn t)sin sin . (3.37) m,n=1 l h Åñëè ðÿä (3.37) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â îáëàñòè QT , à ðÿäû, ïîëó÷åííûå èç íåãî äâóõêðàòíûì ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì ïî x, y è t, ðàâ- íîìåðíî ñõîäÿòñÿ âíóòðè QT , òî åãî ñóììà ïî ïîñòðîåíèþ áóäåò óäîâëå- òâîðÿòü óðàâíåíèþ (3.19) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3.20). Äëÿ âûïîëíåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñîîòíîøåíèÿ ∞ X mπx nπy u|t=0 = ϕ0 (x, y) = amn sin sin , m,n=1 l h 36
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »