Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
mn
(m, n)
(x, y)
Ω
ω
mn
T
mn
ω
mn
= aλ
mn
= aπ
r
m
2
l
2
+
n
2
h
2
, T
mn
=
2π
ω
mn
=
2lh
a
√
m
2
h
2
+ n
2
l
2
,
ϕ
mn
A
mn
(x, y) = α
mn
sin
mπx
l
sin
nπy
h
.
λ
2
k
ω
k
= aλ
k
ϕ
k
(x) = sinkπx A
k
(x)
λ
2
mn
ω
mn
= aλ
mn
l = h = π λ
2
mn
ω
mn
λ
2
mn
= m
2
+ n
2
, ω
mn
= a
p
m
2
+ n
2
.
m = n = 1 ω
11
u
11
(x, y, t) = α
11
sinxsinysin(ω
11
t + ϕ
11
).
ω
12
=
ω
21
= a
√
5 (m = 1, n = 2 m = 2, n = 1)
v
12
(x, y) = sinxsin2y v
21
(x, y) = sin2xsiny,
Ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì óíêöèÿ umn íàçûâàåòñÿ (m, n)-îé
ñòîÿ÷åé âîëíîé.
  Èç (3.43) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñòîÿ÷åé âîëíû êàæäàÿ òî÷êà (x, y) ìåìáðà-
íû Ω ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå (ââåðõâíèç) ñ îäíîé è òîé æå
êðóãîâîé ÷àñòîòîé ωmn è ïåðèîäîì Tmn (îáùèìè äëÿ âñåõ òî÷åê), îïðåäå-
ëÿåìûìè îðìóëàìè
                       r
                          m2 n2            2π        2lh
      ωmn = aλmn = aπ        +    , T mn =     =  √              ,
                          l2   h2          ωmn   a m2 h2 + n2 l2
íà÷àëüíîé àçîé ϕmn è ïåðåìåííîé àìïëèòóäîé
                                         mπx nπy
                     Amn(x, y) = αmn sin     sin   .
                                          l      h
   Íàïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå ñòðóíû êàæäîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ2k
(ëèáî ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå ωk = aλk ) îòâå÷àåò åäèíñòâåííàÿ ñîáñòâåííàÿ
óíêöèÿ ϕk (x) = sinkπx (ëèáî ñîáñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ àìïëèòóäà Ak (x)).
Îíà îïèñûâàåò ïðîèëü ñòðóíû, êîòîðàÿ ðàçäåëÿåòñÿ óçëàìè íà íåñêîëüêî
ðàâíûõ ÷àñòåé, âñå òî÷êè êàæäîé èç êîòîðûõ êîëåáëþòñÿ â îäíîé àçå. Â
òî æå âðåìÿ äëÿ ìåìáðàíû âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà îäíîìó è òîìó æå
ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ2mn (ëèáî ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå ωmn = aλmn ) îòâå-
÷àåò íåñêîëüêî ñîáñòâåííûõ óíêöèé, îïèñûâàþùèõ íåñêîëüêî ïðîèëåé
ìåìáðàíû ñ ðàçëè÷íûìè ïîëîæåíèÿìè óçëîâûõ ëèíèé, ò. å. ëèíèé, âäîëü
êîòîðûõ àìïëèòóäà êîëåáàíèé ðàâíà íóëþ. Â ýòîì ñîñòîèò âàæíîå îòëè-
÷èå â ïîâåäåíèè êîëåáëþùåéñÿ ìåìáðàíû ïî ñðàâíåíèþ ñ êîëåáëþùåéñÿ
ñòðóíîé.
   Ïðîùå âñåãî ýòî èññëåäîâàòü íà ïðèìåðå êâàäðàòíîé ìåìáðàíû, äëÿ
êîòîðîé l = h = π .  ýòîì ñëó÷àå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ2mn è ÷àñòîòû
ωmn îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè
                                            p
                    2      2    2
                   λmn = m + n , ωmn = a m2 + n2 .               (3.44)
Èç (3.44) âèäíî, ÷òî îñíîâíîé òîí ìåìáðàíû, îòâå÷àþùèé îñíîâíîé (ïåð-
âîé) ãàðìîíèêå (3.43) ïðè m = n = 1 èëè îñíîâíîé ÷àñòîòå ω11 , îïðåäåëÿ-
åòñÿ îðìóëîé
                 u11(x, y, t) = α11 sinxsinysin(ω11t + ϕ11).
Ïðè ýòîì óçëîâûå ëèíèè ïåðâîé ãàðìîíèêè ñîâïàäàþò ñî ñòîðîíàìè êâàä-
ðàòà, îáðàçóåìîãî ìåìáðàíîé. Ýòèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò è îñòàëüíûå
ãàðìîíèêè.
   Â òî æå
        √ âðåìÿ äëÿ ñëåäóþùåé ïî âîçðàñòàíèþ âòîðîé ÷àñòîòû ω12 =
ω21 = a 5 (m = 1, n = 2 èëè m = 2, n = 1) ñóùåñòâóþò óæå äâå
ñîáñòâåííûå óíêöèè
             v12(x, y) = sinxsin2y   è    v21(x, y) = sin2xsiny,

                                     38

Страницы