Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

α = 0 β = 0 α = β α = −β
v
mn
Ω = {(x, y) : x
2
+ y
2
< R
2
}
R x, y Q
T
= Ω ×(0, T ]
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
.
x, y r θ
x = = rcosθ y = rsinθ a
2
1
a
2
∂
2
u
∂t
2
=
∂
2
u
∂r
2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r
2
∂
2
u
∂θ
2
.
u|
r=R
= 0 (0, T ]
u|
t=0
= ϕ
0
(r, θ),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(r, θ), 0 ≤ r < R, 0 ≤ θ < 2π.
R r = R
ϕ
0
ϕ
1
u(x, y, t)
t (x, y)
           α=0                  β=0                α=β             α = −β




                                        èñ. 3.1
  Çàìå÷àíèå 3.1. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìåìáðàíû
èññëåäóþòñÿ ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû ñ òîé
ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ïëîòíîñòü îáú¼ìíûõ èñòî÷íèêîâ ðàçëàãàåòñÿ íå â ïðî-
ñòîé, à â äâîéíîé ðÿä Ôóðüå ïî ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ óíêöèé vmn ñïåê-
òðàëüíîé çàäà÷è (3.24)(3.25). Áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîì ìîæíî ïðî÷èòàòü
â [35℄.
  3.4. Äâóìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå â êðóãå. Ñâîáîäíûå êîëå-
áàíèÿ êðóãëîé ìåìáðàíû.         Ïóñòü Ω = {(x, y) : x2 + y 2 < R2 }  êðóã
ðàäèóñà R â ïëîñêîñòè x, y . àññìîòðèì â îáëàñòè QT = Ω × (0, T ] äâóìåð-
íîå âîëíîâîå óðàâíåíèå
                         ∂ 2u
                                     2       2
                                                  
                                     ∂  u   ∂   u
                             2
                               = a2       +         .                (3.46)
                         ∂t          ∂x2 ∂y 2
Ââåäåì â ïëîñêîñòè x, y ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû r è θ ñ ïîìîùüþ îðìóë
x = = rcosθ, y = rsinθ è, ðàçäåëèâ íà a2 , ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (3.46) â
ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:

                         1 ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u   1 ∂ 2u
                                = 2+      +        .                     (3.47)
                         a2 ∂t2  ∂r  r ∂r r2 ∂θ2
Ïîñòàâèì çàäà÷ó: íàéòè ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (3.47), óäîâëåòâîðÿ-
þùåå ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ

                                u|r=R = 0 â (0, T ]                      (3.48)

è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                         ∂u
    u|t=0 = ϕ0 (r, θ),              = ϕ1(r, θ), 0 ≤ r < R, 0 ≤ θ < 2π.   (3.49)
                         ∂t   t=0

Çàäà÷à (3.47)(3.49) îïèñûâàåò, íàïðèìåð, ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ îäíîðîä-
íîé êðóãëîé ìåìáðàíû ðàäèóñà R, çàêðåïëåííîé íà ãðàíèöå r = R, ïîä
äåéñòâèåì íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèé ϕ0 è ϕ1 . Ïðè ýòîì u(x, y, t) èìååò èçè-
÷åñêèé ñìûñë ñìåùåíèÿ â ìîìåíò t òî÷êè (x, y) ìåìáðàíû îò ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ.

                                           40

Страницы