Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ω
12
= ω
21
= a
√
5
u
12
= α
12
sinxsin2ysin(ω
12
t + ϕ
12
), u
21
= α
21
sin2xsinysin(ω
21
t + ϕ
21
).
u
12
u
21
ϕ
12
= ϕ
21
sinxsin2y = 0 sin2xsiny = 0
y = π/2 u
12
x = π/2 u
21
u
12
u
21
αu
12
+ βu
21
= αsinxsin2y + βsin2xsiny, α = co nst, β = const,
λ
2
13
= λ
2
31
= 10 λ
2
23
= λ
2
32
= 13 λ
2
14
= λ
2
41
= 17
m n
(m, n) ∈ N
2
+
√
m
2
+ n
2
= const
λ
2
= 801125
801125 = 895
2
+10
2
= 890
2
+95
2
= 886
2
+127
2
= ... = 10
2
+895
2
(32 ).
λ
2
=
8900000001503676650 = ... = 2793642145
2
+ 1046691725
2
= ... =
= 1458737557
2
+2602322951
2
= ... = 1968253
2
+2983286129
2
(1536 ).
êîòîðûì îòâå÷àþò äâå âòîðûå√ãàðìîíèêè ëèáî äâà âòîðûõ îáåðòîíà îäíîé è
òîé æå ÷àñòîòû ω12 = ω21 = a 5, îïèñûâàåìûå ñîîòâåòñòâåííî îðìóëàìè
 u12 = α12 sinxsin2ysin(ω12t + ϕ12), u21 = α21 sin2xsinysin(ω21t + ϕ21). (3.45)
ßñíî, ÷òî äëÿ ýòîé ÷àñòîòû óçëîâûå ëèíèè ãàðìîíèê u12 è u21 îïðåäåëÿþò-
ñÿ ïðè ϕ12 = ϕ21 ñîîòâåòñòâåííî èç óðàâíåíèé sinxsin2y = 0, sin2xsiny = 0.
Âèäíî, ÷òî íàðÿäó ñî ñòîðîíàìè êâàäðàòà óçëîâûìè ëèíèÿìè ÿâëÿþòñÿ îò-
ðåçêè y = π/2 äëÿ óíêöèè u12 è îòðåçêè x = π/2 äëÿ óíêöèè u21 . Áîëåå
ñëîæíûé âèä èìåþò óçëîâûå ëèíèè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíà-
öèè óíêöèé u12 è u21
       αu12 + βu21 = αsinxsin2y + βsin2xsiny, α = const, β = const,
êîòîðàÿ òàêæå îïèñûâàåò âòîðóþ ãàðìîíèêó ìåìáðàíû. Ïðîñòåéøèå èç óç-
ëîâûõ ëèíèé èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3.1 ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè. Áîëåå ñëîæ-
íûå óçëîâûå ëèíèè, îòâå÷àþùèå â òîì ÷èñëå è äðóãèì êðàòíûì ñîáñòâåí-
íûì çíà÷åíèÿì: λ213 = λ231 = 10, λ223 = λ232 = 13, λ214 = λ241 = 17,  ïðèâåäåíû
â [41, ñ.221℄.
   Ïðèâåäåííûé ïðèìåð îòíîñèòñÿ ê äâóõêðàòíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷å-
íèþ. Äðóãèå ïðèìåðû äâóõêðàòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìîæíî ïîëó-
÷èòü, ðàññìîòðåâ äðóãèå ðàçíûå ïàðû ÷èñåë m è n. Ñóùåñòâóþò ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.24), (3.25), îáëàäàþùèå è á          îëüøåé
êðàòíîñòüþ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ äîñòàòî÷íî íàé-
          √ (áîëüøå äâóõ) ðàçíûõ ïàð (m, n) ∈ N+ , óäîâëåòâîðÿþùèõ
òè íåñêîëüêî                                               2

óñëîâèþ m2 + n2 = const.
   Ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà òàêèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ïîñòðîåííûõ âåñ-
íîé 2001 ã. ñòóäåíòàìè 3-ãî êóðñà Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíûõ
íàóê Äàëüíåâîñòî÷íîãî ãîñóíèâåðñèòåòà È.Ô. Õðàï÷åíêîâûì è Ò.Ñ. ×èñòÿ-
êîâûì. Ñ ïîìîùüþ ïðîñòîãî àëãîðèòìà, ðåàëèçîâàííîãî íà êîìïüþòåðå,
îíè ïîëó÷èëè 32-êðàòíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ2 = 801125, ñ êîòîðûì, â
÷àñòíîñòè, âûïîëíÿþòñÿ ðàçëîæåíèÿ
801125 = 8952+102 = 8902+952 = 8862+1272 = ... = 102+8952(32ðàçëîæåíèÿ).
 ïðîöåññå äàëüíåéøåãî óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ àëãîðèòìà ýòîò ðåçóëüòàò
óäàëîñü ñóùåñòâåííî óñèëèòü, ïîëó÷èâ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ2 =
890000001503676650 êðàòíîñòè 1536, ñ êîòîðûì, â ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâû
ðàçëîæåíèÿ
      8900000001503676650 = ... = 27936421452 + 10466917252 = ... =
= 14587375572+26023229512 = ... = 19682532+29832861292(1536ðàçëîæåíèé).
Äðóãèå ïðèìåðû ìíîãîêðàòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àâòîð ïðåäëàãàåò
íàéòè çàèíòåðåñîâàííîìó ÷èòàòåëþ.

                                      39

Страницы