Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u r t
ϕ
0
ϕ
1
θ
u|
t=0
= ϕ
0
(r),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(r), 0 ≤ r < R.
ϕ
0
ϕ
1
[0, R)
u θ
1
a
2
∂
2
u
∂t
2
=
∂
2
u
∂r
2
+
1
r
∂u
∂r
.
u(r, t) = w(r)T (t).
T
′′
(t)
a
2
T (t)
=
w
′′
(r) +
1
r
w
′
(r)
w(r)
= −λ
2
.
λ
2
T w
T
′′
(t) + λ
2
a
2
T (t) = 0,
w
′′
(r) +
1
r
w
′
(r) + λ
2
w(r) = 0.
w
w(R) = 0.
λ
2
u
r = R
ν = 0 ν
W
′′
(r) +
1
r
W
′
(r) +
λ
2
−
ν
2
r
2
W (r) = 0.
   Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì íèæå ñëó÷àé, êîãäà êðóãëàÿ ìåìáðàíà ñîâåð-
øàåò ðàäèàëüíûå êîëåáàíèÿ, ò. å. òàêèå êîëåáàíèÿ, ïðè êîòîðûõ ñìåùåíèå
u ìåìáðàíû çàâèñèò ëèøü îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû r è âðåìåíè t. Òàêèå
êîëåáàíèÿ èìåþò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íà÷àëüíûå óíêöèè
ϕ0 è ϕ1 íå çàâèñÿò îò óãëà θ, òàê ÷òî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (3.49) èìåþò âèä
                                 ∂u
                u|t=0 = ϕ0(r),              = ϕ1(r), 0 ≤ r < R.      (3.50)
                                 ∂t   t=0

Çäåñü ϕ0 è ϕ1  çàäàííûå â èíòåðâàëå [0, R) óíêöèè. Òàê êàê â ðàññìàòðè-
âàåìîì ñëó÷àå u íå çàâèñèò îò óãëà θ , òî óðàâíåíèå (3.47) ïðèíèìàåò áîëåå
ïðîñòîé âèä
                           1 ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u
                                  = 2+           .                   (3.51)
                           a2 ∂t2   ∂r      r ∂r
   Ñëåäóÿ ìåòîäó Ôóðüå, áóäåì èñêàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.51),
óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.48), â âèäå

                             u(r, t) = w(r)T (t).                    (3.52)

Ïîäñòàâëÿÿ (3.52) â (3.51) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, áóäåì èìåòü

                     T ′′(t)   w′′(r) + 1r w′ (r)
                      2
                             =                    = −λ2 .
                     a T (t)        w(r)
Çäåñü λ2  êîíñòàíòà ðàçäåëåíèÿ. Îòñþäà ïðèõîäèì ê äâóì îáûêíîâåííûì
äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì äëÿ óíêöèé T è w:

                          T ′′ (t) + λ2 a2 T (t) = 0,                (3.53)
                               1
                      w′′ (r) + w′ (r) + λ2 w(r) = 0.                (3.54)
                               r
Èç (3.48) âûòåêàåò ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ w. Îíî èìååò âèä

                                  w(R) = 0.                          (3.55)

   àâåíñòâà (3.54), (3.55) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó ñî
ñïåêòðàëüíûì ïàðàìåòðîì λ2 , êîòîðóþ íåîáõîäèìî ðåøèòü äëÿ íàõîæäå-
íèÿ ìåòîäîì Ôóðüå ðåøåíèÿ u èñõîäíîé çàäà÷è (3.48), (3.50), (3.51). Ïîä-
÷åðêíåì, ÷òî çàäà÷à (3.54), (3.55) ñîäåðæèò ëèøü îäíî êðàåâîå óñëîâèå
ïðè r = R. Ýòî íå ñëó÷àéíî, à ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî (3.54) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
÷àñòíûé ñëó÷àé (ïðè ν = 0) óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ ν -ãî ïîðÿäêà, èìåþùåãî
âèä
                                            2
                                             
                          1               ν
                 W ′′(r) + W ′ (r) + λ2 − 2 W (r) = 0.               (3.56)
                          r               r
                                       41

Страницы