Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

J
ν
(λr)
N
ν
(λr)
H
(1)
ν
(λr) = J
ν
(λr) + iN
ν
(λr), H
(2)
ν
(λr) = J
ν
(λr) − iN
ν
(λr).
J
ν
λr N
ν
r = 0
H
(1)
ν
H
(2)
ν
r = 0
r = 0
u
Ω r = 0
J
0
(λr) N
0
(λr)
r = 0
|w(0)| < ∞,
r = 0
w(r) = C
1
J
0
(λr) + C
2
N
0
(λr),
C
1
C
2
C
2
= 0 C
2
= 0
C
1
6= 0
J
0
(λR) = 0.
λR = µ
J
0
(µ) = 0.
sinµ = 0
µ
n
Íå ñòàâÿ çäåñü ñâîåé öåëüþ ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå ñâîéñòâ ðåøåíèé óðàâ-
íåíèÿ (3.56), ëèáî (3.54) (ñì. îá ýòîì, íàïðèìåð, [6, ãë. 14℄, [11, Ÿ23℄, [56,
ñ.632℄), îòìåòèì, ÷òî â ïðèëîæåíèÿõ îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò äâà ëèíåéíî-
íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.56): óíêöèÿ Áåññåëÿ Jν (λr) è óíê-
öèÿ Íåéìàíà Nν (λr), à òàêæå èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè: óíêöèè Õàíêåëÿ
1-ãî è 2-ãî ðîäà, îïðåäåëÿåìûå îðìóëàìè

    Hν(1) (λr) = Jν (λr) + iNν (λr), Hν(2) (λr) = Jν (λr) − iNν (λr).   (3.57)

Ïåðâàÿ óíêöèÿ Jν ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé è, áîëåå òîãî, àíàëèòè÷åñêîé óíê-
öèåé àðãóìåíòà λr, òîãäà êàê âòîðàÿ óíêöèÿ Nν èìååò îñîáåííîñòü (îáðà-
ùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü) ïðè r = 0. (Òî æå ñàìîå, åñòåñòâåííî, ñïðàâåäëèâî
                   (1)   (2)
è äëÿ óíêöèé Hν è Hν ). Ïîñëåäíåå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî óðàâ-
íåíèå (3.56) èìååò îñîáåííîñòü ïðè r = 0. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðèè òàêèõ
óðàâíåíèé (ñì., íàïðèìåð, [6, ñ.284℄), èç äâóõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøå-
íèé óêàçàííûõ óðàâíåíèé îäíî (è òîëüêî îäíî) îáÿçàíî èìåòü îñîáåííîñòü
â îñîáîé òî÷êå  â äàííîì ñëó÷àå ïðè r = 0.
    òî æå âðåìÿ ðåøåíèå u èñõîäíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (3.48),
(3.50), (3.51), îïèñûâàÿ, ñîãëàñíî ñâîåìó èçè÷åñêîìó ñìûñëó, îòêëîíåíèå
ìåìáðàíû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, äîëæíî áûòü îãðàíè÷åííûì âñþäó â
êðóãå Ω, à ñëåäîâàòåëüíî, è â òî÷êå r = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç äâóõ ðåøå-
íèé  J0 (λr) è N0 (λr)  óðàâíåíèÿ (3.54) ïîñëåäíåå íåîáõîäèìî îòáðîñèòü
êàê íå èìåþùåå èçè÷åñêîãî ñìûñëà. Ýòîé öåëè ìîæåò ñëóæèòü óñëîâèå
îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèÿ ïðè r = 0:

                                 |w(0)| < ∞,                            (3.58)

ÿâëÿþùååñÿ àíàëîãîì ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ ïðè r = 0 äëÿ óðàâíåíèÿ (3.54).
Òàêèì îáðàçîì, õîòÿ îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.54) èìååò âèä

                       w(r) = C1J0(λr) + C2N0 (λr),                     (3.59)

ãäå C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, èç óñëîâèÿ (3.58) íåîáõîäèìî âû-
òåêàåò, ÷òî C2 = 0. Ïîëàãàÿ â (3.59) C2 = 0 è ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðà-
æåíèå â ãðàíè÷íîå óñëîâèå (3.55), ïðèõîäèì ïîñëå äåëåíèÿ íà ïîñòîÿííóþ
C1 6= 0 ê óðàâíåíèþ
                                J0(λR) = 0.                         (3.60)
  Îáîçíà÷àÿ λR = µ, ïåðåïèøåì (3.60) â âèäå

                                  J0(µ) = 0.                            (3.61)

Óðàâíåíèå (3.61), àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ sinµ = 0, èìååò ñ÷åòíîå ìíîæå-
ñòâî âåùåñòâåííûõ ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé µn [11, . 350℄. Óêàçàííûå êîðíè


                                      42

Страницы