Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

k
u(r, t) =
∞
X
k=1
a
k
cos
aµ
k
t
R
+ b
k
sin
aµ
k
t
R
J
0
µ
k
r
R
t Q
T
r t Q
T
a
k
b
k
∂u
∂t
=
∞
X
k=1
aµ
k
R
b
k
cos
aµ
k
t
R
− a
k
sin
aµ
k
t
R
J
0
µ
k
r
R
,
t
ϕ
0
(r) =
∞
X
k=1
a
k
J
0
µ
k
r
R
, ϕ
1
(r) =
∞
X
k=1
aµ
k
R
b
k
J
0
µ
k
r
R
.
ϕ
0
ϕ
1
L
2
r
(0, R)
w
k
a
k
b
k
ϕ
0
ϕ
1
rJ
0
(µ
k
r/R) (0, R)
a
k
=
2
R
2
J
2
1
(µ
k
)
R
Z
0
rϕ
0
(r)J
0
µ
k
r
R
dr, b
k
=
2
aµ
k
RJ
2
1
(µ
k
)
R
Z
0
rϕ
1
(r)J
0
µ
k
r
R
dr.
a
k
b
k
u(r, t) =
∞
X
k=1
α
k
J
0
µ
k
r
R
sin
aµ
k
t
R
+ ϕ
k
.
óäîâëåòâîðÿþò ïðè êàæäîì k óðàâíåíèþ (3.51) è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
(3.48). Òî æå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáîé êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
óíêöèé (3.66), à òàêæå ðÿäà
                       ∞                               
                       X          aµk t          aµk t     µk r 
             u(r, t) =     ak cos       + bk sin        J0        (3.67)
                                   R              R         R
                             k=1

ïðè óñëîâèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè åãî è ðÿäà, ïîëó÷åííîãî äèåðåí-
öèðîâàíèåì ðÿäà (3.67) ïî t â çàìêíóòîé îáëàñòè QT , è ðÿäîâ, ïîëó÷åííûõ
äâóõêðàòíûì äèåðåíöèðîâàíèåì (3.67) ïî r è t, âíóòðè QT .
   Îñòàëîñü îïðåäåëèòü ïîñòîÿííûå ak è bk â (3.67). Êàê îáû÷íî, èñïîëüçó-
åì äëÿ ýòîãî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (3.50). Ñ ýòîé öåëüþ ïîäñòàâèì ðÿä (3.67)
è ðÿä
                  ∞                                     
            ∂u X aµk               aµk t          aµk t     µk r 
                =           bk cos       − ak sin        J0        , (3.68)
             ∂t       R             R              R         R
                       k=1
ïîëó÷åííûé äèåðåíöèðîâàíèåì (3.67) ïî t, â (3.50). Ïîëó÷èì
                 ∞            µ r            ∞
                 X              k
                                               X aµk       µ r
                                                             k
       ϕ0(r) =          ak J0        , ϕ1(r) =       bk J0       .             (3.69)
                                R                 R          R
                 k=1                             k=1

àâåíñòâà (3.69) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçëîæåíèÿ íà÷àëüíûõ óíêöèé ϕ0 è
ϕ1 â ðÿäû Ôóðüå ïî ïîëíîé îðòîãîíàëüíîé â ïðîñòðàíñòâå L2r (0, R) ñèñòåìå
ñîáñòâåííûõ óíêöèé wk çàäà÷è (3.54), (3.55). Ñ ó÷åòîì ýòîãî êîýèöè-
åíòû ak è bk ýòèõ ðàçëîæåíèé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïî óíêöèÿì ϕ0
è ϕ1 . ×òîáû èõ íàéòè, óìíîæèì êàæäîå èç ðàâåíñòâ â (3.69) íà óíêöèþ
rJ0(µk r/R), ïðîèíòåãðèðóåì ïî÷ëåííî íà (0, R) è âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøå-
íèÿìè (3.64).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

                 ZR                                          ZR
       2                       µ r 
                                 k                  2                       µ r 
                                                                              k
ak = 2 2              rϕ0(r)J0        dr, bk =                  rϕ 1 (r)J 0        dr.
    R J1 (µk )                   R             aµk RJ12(µk )                  R
                 0                                            0
                                                                  (3.70)
Òåì ñàìûì ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è (3.48), (3.50), (3.51) ïîñòðîåíî. Îíî
èìååò âèä ðÿäà (3.67), êîýèöèåíòû ak è bk êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ îð-
ìóëàìè (3.70), ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, ðÿäà (3.67)
è åãî ïðîèçâîäíûõ â ñîîòâåòñòâóþùèõ îáëàñòÿõ.
   Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà èçè÷åñêîì ñìûñëå ðåøåíèÿ (3.67). Èñïîëüçóÿ
îáîçíà÷åíèÿ âèäà (1.24), ïåðåïèøåì ðÿä (3.67) â âèäå
                          ∞       µ r                 
                          X         k          aµk t
                u(r, t) =   αk J0        sin         + ϕk .       (3.71)
                                    R           R
                               k=1

                                           44

Страницы