Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(0, l) R
R
2
ω
S a
∆u + k
2
u = 0
D S
αu + β
∂u
∂n
S
= g
S
u(x) = O(|x|
−1
),
∂u(x)
∂|x|
− iku(x) = o(|x|
−1
)
|x| → ∞.
k = ω/c ω c = const
α, β g S g
S α β
α = 1, β = 0
S α = 0, β = 1
S
       Ÿ4. Ýëåìåíòû òåîðèè ñåðè÷åñêèõ óíêöèé.
 Ïðèëîæåíèÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è îá èçëó÷åíèè çâóêà
                       êîëåáëþùåéñÿ ñåðîé

   Ïðåäûäóùèå ïàðàãðàû áûëè ïîñâÿùåíû ïðèìåíåíèþ ìåòîäà Ôóðüå
äëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ â ïðîñòåéøèõ êà-
íîíè÷åñêèõ äëÿ ìåòîäà Ôóðüå îáëàñòÿõ: îòðåçêå (0, l) îñè R è ïðÿìîóãîëü-
íèêå ëèáî êðóãå íà ïëîñêîñòè R2 . Â ýòîì ïàðàãðàå ìû ïðèìåíèì ìåòîä
Ôóðüå äëÿ ðåøåíèÿ âàæíîé àêóñòè÷åñêîé çàäà÷è, çàêëþ÷àþùåéñÿ â íà-
õîæäåíèè çâóêîâîãî ïîëÿ, èçëó÷àåìîãî ñåðîé, êîëåáëþùåéñÿ ñ èêñèðî-
âàííîé ÷àñòîòîé ω . Îòìåòèì äâà îòëè÷èÿ ìàòåìàòè÷åñêîé îðìóëèðîâêè
ðàñìàòðèâàåìîé íèæå çàäà÷è îò çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ ⠟Ÿ 1-3. Ïåðâîå
ñîñòîèò â òîì, ÷òî â êà÷åñòâå óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ðàñïðîñòðàíåíèå
çâóêà, èçëó÷àåìîé ñåðîé, ìû âûáåðåì íå âîëíîâîå óðàâíåíèå, à óðàâíåíèå
 åëüìãîëüöà, ïîñêîëüêó èìåííî îíî îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà èê-
ñèðîâàííîé êðóãîâîé ÷àñòîòû (ñì. Ÿ 6 ãë. 1 è [3℄). Âòîðîå îòëè÷èå ñîñòîèò â
òîì, ÷òî, èñõîäÿ èç ïîñòàíîâêè çàäà÷è, óðàâíåíèå åëüìãîëüöà ñëåäóåò ðàñ-
ñìàòðèâàòü â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè  âíåøíîñòè êîëåáëþùåéñÿ ñåðû.
Ïîñëåäíåå ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè çàäàíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, à
èìåííî óñëîâèé íà áåñêîíå÷íîñòè, íåîáõîäèìûõ äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåí-
íîãî ðåøåíèÿ.
  4.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è îá èçëó÷åíèè çâóêà êîëåáëþùåéñÿ ñå-
ðîé. Êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [3℄, [11℄), çàäà÷à èçëó÷åíèÿ çâóêà êîëåá-
ëþùåéñÿ ñåðîé S ðàäèóñà a ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
 åëüìãîëüöà
                             ∆u + k 2 u = 0                            (4.1)
âî âíåøíîñòè D ñåðû S , óäîâëåòâîðÿþùåãî ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
                                      ∂u
                             αu + β            =g                      (4.2)
                                      ∂n   S

íà ñåðå S è óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ Çîììåðåëüäà
                       ∂u(x)
   u(x) = O(|x|−1 ),         − iku(x) = o(|x|−1 )   ïðè   |x| → ∞.     (4.3)
                        ∂|x|
Çäåñü k = ω/c  âîëíîâîå ÷èñëî, ãäå ω  êðóãîâàÿ ÷àñòîòà, c = const  ñêî-
ðîñòü çâóêà, α, β è g  çàäàííûå íà ñåðå S óíêöèè, ïðè÷åì g èìååò ñìûñë
ïëîòíîñòè ïîâåðõíîñòíûõ èñòî÷íèêîâ çâóêà íà ñåðå S , à óíêöèè α è β
îïèñûâàþò åå àêóñòè÷åñêèå ñâîéñòâà.  ÷àñòíîñòè, ñëó÷àé α = 1, β = 0
îòâå÷àåò àêóñòè÷åñêè ìÿãêîé ñåðå S , à ñëó÷àé α = 0, β = 1  àêóñòè-
÷åñêè òâåðäîé ñåðå S . Ïîñòàâèì öåëü: íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è (4.1)(4.3),
èñïîëüçóÿ ìåòîä Ôóðüå.

                                      46

Страницы