Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
k
(r, t) = α
k
J
0
µ
k
r
R
sin
aµ
k
t
R
+ ϕ
k
.
(r, θ) Ω
ω
k
T
k
ω
k
=
aµ
k
R
=
µ
k
R
s
T
ρ
, T
k
=
2π
ω
k
=
2πR
aµ
k
,
ϕ
k
A
k
(r) = a
k
J
0
(µ
k
r/R)
r = r
0
J
0
µ
k
r
0
R
= 0,
A
k
k
k = 1 k = 2 k = 3
J
0
Ω
Ñîãëàñíî îðìóëå (3.71) ðåøåíèå (3.67) çàäà÷è (3.48), (3.50), (3.51), îïèñû-
âàþùåå ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ êðóãëîé çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ ìåìáðàíû,
ñëàãàåòñÿ èç ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñîáñòâåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
(ñòîÿ÷èõ âîëí) âèäà
                                   µ r                 
                                     k          aµk t
                 uk (r, t) = αk J0        sin         + ϕk .           (3.72)
                                     R           R
   Êàæäàÿ òî÷êà (r, θ) ìåìáðàíû Ω ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå
(ââåðõ-âíèç) ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé ωk è ïåðèîäîì Tk , îïðåäåëÿåìûìè
îðìóëàìè                       s
                         aµk   µk     T        2π   2πR
                  ωk =       =          , Tk =    =     ,              (3.73)
                          R    R      ρ        ωk   aµk
íà÷àëüíîé àçîé ϕk è ïåðåìåííîé àìïëèòóäîé Ak (r) = ak J0 (µk r/R). Â
òî÷êàõ îêðóæíîñòè r = r0 , ãäå
                                µ r 
                                  k 0
                             J0        = 0,                       (3.74)
                                  R
àìïëèòóäà Ak îáðàùàåòñÿ â íóëü, òàê ÷òî ýòè òî÷êè íå êîëåáëþòñÿ. Òà-
êèì îáðàçîì, (3.74) îïèñûâàåò óðàâíåíèå óçëîâûõ ëèíèé äëÿ k -îé ñòîÿ÷åé
âîëíû.
   Íà ðèñ. 3.2 èçîáðàæåíû íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ
óçëîâûõ ëèíèé.




             k=1                       k=2                   k=3
                                    èñ. 3.2
   Áîëåå ïîäðîáíî î èçè÷åñêîì ñìûñëå ðåøåíèÿ (3.67) çàäà÷è (3.48), (3.50),
(3.51) òàê æå, êàê è ðåøåíèÿ îáùåé äâóìåðíîé çàäà÷è (3.47)(3.49), ìîæíî
ïðî÷èòàòü â [21, ñ. 214℄ è [56, ñ. 430℄.
   Çàìå÷àíèå 3.2. Óòâåðæäåíèå î âûáîðå â êà÷åñòâå íóæíîãî ÷àñòíîãî
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áåññåëÿ (3.54) óíêöèè Áåññåëÿ J0 îòíîñèòñÿ ê ðàñ-
ñìàòðèâàåìîìó ñëó÷àþ, êîãäà Ω  êðóã. Åñëè æå èñõîäíàÿ èçè÷åñêàÿ çà-
äà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ âî âíåøíîñòè êðóãà, òî â êà÷åñòâå ñîîòâåòñòâóþùåãî
÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò âûáèðàòü óíêöèþ Õàíêåëÿ. Ê ýòîìó âîïðîñó
ìû âåðíåìñÿ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàå ïðè èññëåäîâàíèè âíåøíåé êðàåâîé
çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà.

                                       45

Страницы