Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

0 < µ
1
< µ
2
< ... < µ
k
< ... , lim
k→∞
µ
k
= ∞.
µ
k
λ
2
k
w
k
λ
2
k
=
µ
k
R
2
, w
k
(r) = J
0
µ
k
r
R
, k = 1, 2, 3, ... .
J
0
(µ
k
r/R)
sinµ
k
x
w
k
L
2
r
(0, R) L
2
r
(0, R)
(w, v) ≡
R
Z
0
w(r)v
∗
(r)rdr ∀w, v ∈ L
2
r
(0, R).
∗
(w
k
, w
l
) ≡
R
Z
0
J
0
µ
k
r
R
J
0
µ
l
r
R
rdr =
1
2
R
2
J
2
1
(µ
k
), k = l,
0, k 6= l.
J
1
{w
k
}
∞
k=1
L
2
r
(0, R)
λ
2
k
w
k
λ = λ
k
= µ
k
/R
T
k
(t) = a
k
cos
aµ
k
t
R
+ b
k
sin
aµ
k
t
R
,
a
k
b
k
u
k
(r, t) =
a
k
cos
aµ
k
t
R
+ b
k
sin
aµ
k
t
R
J
0
µ
k
r
R
ïðîñòûå, ïîëîæèòåëüíûå è ìîãóò áûòü çàíóìåðîâàíû òàê, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå
              0 < µ1 < µ2 < ... < µk < ... , lim µk = ∞.        (3.62)
                                                           k→∞

Óêàçàííûì êîðíÿì µk îòâå÷àåò ñîâîêóïíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ2k è
ñîáñòâåííûõ óíêöèé wk ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.54), (3.55), èìåþùàÿ âèä
                 µ 2               µ r
             2     k                   k
           λk =        , wk (r) = J0       , k = 1, 2, 3, ... .  (3.63)
                  R                    R
   Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ óíêöèé J0 (µk r/R) ñïåê-
òðàëüíîé çàäà÷è (3.54), (3.55) âî ìíîãîì àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì ñîáñòâåí-
íûõ óíêöèé sinµk x ïðîñòåéøåé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (1.7), (1.8).  ÷àñò-
íîñòè: 1) ñîáñòâåííûå óíêöèè wk ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.54), (3.55) îá-
ðàçóþò îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó â ïðîñòðàíñòâå L2r (0, R), ãäå L2r (0, R) îáî-
çíà÷àåò ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì óíêöèé ñî
ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
                               ZR
                    (w, v) ≡        w(r)v ∗(r)rdr ∀w, v ∈ L2r (0, R).
                               0

(Çäåñü  ∗ îáîçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå). Ïðè ýòîì

                    ZR      µ r  µ r        1 2 2
                              k      l            R J1 (µk ), k = l,
     (wk , wl ) ≡        J0       J0      rdr = 2                       (3.64)
                              R      R           0, k =
                                                      6 l.
                    0

Çäåñü J1  óíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
   2) Ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ óíêöèé {wk }∞k=1 ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.54),
(3.55) ïîëíà â ïðîñòðàíñòâå Lr (0, R).
                             2

   Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ ñâîéñòâ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [11, Ÿ 23℄.
   Èñïîëüçóÿ óêàçàííûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ2k è óíêöèé wk ,
äàëüøå äåéñòâóåì ïî ñòàíäàðòíîé ñõåìå ìåòîäà Ôóðüå. Ïðè λ = λk = µk /R
óðàâíåíèå (3.53) èìååò îáùåå ðåøåíèå
                                              aµk t          aµk t
                            Tk (t) = ak cos         + bk sin       ,    (3.65)
                                               R              R
ãäå ak è bk  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.  òàêîì ñëó÷àå ïî ïîñòðîåíèþ
óíêöèè                                               
                                 aµk t          aµk t     µk r 
              uk (r, t) = ak cos       + bk sin        J0        (3.66)
                                  R              R         R


                                               43

Страницы