Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v(x)T
′′
(t) = [Lv](x)T (t) ≡
"
n
X
i,j=1
∂
∂x
i
a
ij
(x)
∂v
∂x
j
− a(x)v
#
T (t).
T
′′
(t)
T (t)
=
[Lv](x)
v(x)
= −λ.
λ
T
T
′′
(t) + λT (t) = 0,
v
Lv + λv = 0.
v
v|
Γ
= 0.
λ
λ
a
ij
a
Ω
0 ≤ λ
1
≤ λ
2
≤ ... ≤ λ
k
≤ ... , lim
k→∞
λ
k
= ∞.
v
k
Z
Ω
v
2
k
(x)dx = 1,
Ïîäñòàâëÿÿ (3.6) â óðàâíåíèå (3.1), áóäåì èìåòü
                                  " n                           #
                                   X ∂            ∂v
                                                       
     v(x)T ′′(t) = [Lv](x)T (t) ≡          aij (x)       − a(x)v T (t).
                                      ∂xi
                                       i,j=1
                                                   ∂xj

àçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì
                             T ′′ (t) [Lv](x)
                                     =        = −λ.
                             T (t)      v(x)
Çäåñü λ  êîíñòàíòà ðàçäåëåíèÿ. Îòñþäà ïðèõîäèì ê äâóì äèåðåíöè-
àëüíûì óðàâíåíèÿì  îáûêíîâåííîìó äëÿ T , èìåþùåìó âèä

                                T ′′ (t) + λT (t) = 0,                         (3.7)

è óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äëÿ v :

                                   Lv + λv = 0.                                (3.8)

   ×òîáû ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.1) âèäà (3.6), óäîâëåòâîðÿþùèå
ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.4), íåîáõîäèìî, ÷òîáû óíêöèÿ v óäîâëåòâîðÿëà
ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
                               v|Γ = 0.                           (3.9)
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ìíîãîìåðíîé ñïåêòðàëüíîé çàäà÷å: íàéòè òàêèå
çíà÷åíèÿ λ, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå (3.8) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ,
óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.9). Ýòè çíà÷åíèÿ λ íàçûâàþòñÿ
ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, à ñîîòâåòñòâóþùèå ðåøåíèÿ  ñîáñòâåííûìè
óíêöèÿìè ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (3.8), (3.9).
    ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî êîýèöèåíòû aij è a â (3.2)  äîñòàòî÷íî ãëàä-
êèå óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå (3.3) â îáëàñòè Ω ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé
ãðàíèöåé, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî çàäà÷à (3.8), (3.9) èìååò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è îòâå÷àþùèõ èì ñîáñòâåííûõ óíêöèé (ñì. [11,
Ÿ 21℄, [28, ãë. 2℄, [33℄, [34, ãë. 4℄, [48, ãë. 2℄, [58, ãë. 4℄). Óêàçàííûå ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû, íåîòðèöàòåëüíû, èìåþò êîíå÷íóþ êðàòíîñòü è
ìîãóò áûòü çàíóìåðîâàíû òàê, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

                  0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λk ≤ ... , lim λk = ∞.                  (3.10)
                                                      k→∞

Ñ ó÷åòîì îäíîðîäíîñòè óðàâíåíèÿ (3.8) è ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (3.9) ñîá-
ñòâåííûå óíêöèè vk îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ. Âûáåðåì
åãî èç óñëîâèÿ             Z
                                      vk2(x)dx = 1,                           (3.11)
                                  Ω

                                          31

Страницы