Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

λ
1
< λ
2
< λ
3
< ... < λ
k
< ... , lim
k→∞
λ
k
= +∞.
λ
λ
λ
k
X
k
l
Z
0
ρ(x)X
2
k
(x)dx = 1.
ρ
ρ (0, l)
l
Z
0
ρ(x)X
k
(x)X
m
(x)dx = 0 (k 6= m).
λ
k
λ
m
X
k
X
m
[p(x)X
′
k
(x)]
′
+ [λ
k
ρ(x) − q(x)]X
k
(x) = 0,
[p(x)X
′
m
(x)]
′
+ [λ
m
ρ(x) − q(x)]X
m
(x) = 0.
X
m
X
k
X
m
(x)[p(x)X
′
k
(x)]
′
− X
k
(x)[p(x)X
′
m
(x)]
′
+ (λ
k
− λ
m
)ρ(x)X
k
(x)X
m
(x) = 0,
ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè, îòâå÷àþùèìè äàííîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ
(ñðàâíèòå ñ àíàëîãè÷íûì îïðåäåëåíèåì ⠟ 1).
   2.2. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è. Ìîæíî
äîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, [11, Ÿ 22℄, [21, ãë. 32℄, [48, ãë. 2℄), ÷òî ïðè âûïîëíå-
íèè óñëîâèé (i), (ii) ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (2.7), (2.8). Óêàçàííûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùå-
ñòâåííû, ïðîñòûå, è èõ ìîæíî çàíóìåðîâàòü òàê, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
                λ1 < λ2 < λ3 < ... < λk < ... , lim λk = +∞.                (2.9)
                                                 k→∞

   Äîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîñòûå. Ïðåäïîëîæèì
ïðîòèâíîå, ÷òî íåêîòîðîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ ÿâëÿåòñÿ êðàòíûì. Ïî-
ñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ýòîãî λ ñóùåñòâóåò äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.7), óäîâëåòâîðÿþùèõ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.8). Òî-
ãäà è îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.7), ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé èõ ëèíåéíóþ
êîìáèíàöèþ, òàêæå îáÿçàíî óäîâëåòâîðÿòü ýòèì óñëîâèÿì. Íî ýòî íå âåðíî.
   Êàæäîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λk îòâå÷àåò ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ Xk ,
îïðåäåëÿåìàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ. Âûáåðåì åå òàê,
÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
                              Zl
                                   ρ(x)Xk2(x)dx = 1.                      (2.10)
                               0

Ñîáñòâåííûå óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (2.10), áóäåì íàçûâàòü
íîðìèðîâàííûìè (ñ âåñîì ρ).
   Äîêàæåì, ÷òî ñîáñòâåííûå óíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåí-
íûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû ñ âåñîì ρ íà èíòåðâàëå (0, l), ò. å. ÷òî
                     Zl
                          ρ(x)Xk (x)Xm(x)dx = 0 (k 6= m).                 (2.11)
                     0

Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü λk è λm  äâà ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ, à
Xk è Xm  îòâå÷àþùèå èì ñîáñòâåííûå óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå ãðà-
íè÷íûì óñëîâèÿì (2.8) è ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿì
                  [p(x)Xk′ (x)]′ + [λk ρ(x) − q(x)]Xk (x) = 0,
                        ′
                  [p(x)Xm (x)]′ + [λm ρ(x) − q(x)]Xm(x) = 0.
Óìíîæèì ïåðâîå ðàâåíñòâî íà Xm , âòîðîå  íà Xk è âû÷òåì. Ïîëó÷èì
ðàâåíñòâî
 Xm (x)[p(x)Xk′ (x)]′ − Xk (x)[p(x)Xm
                                    ′
                                      (x)]′ + (λk − λm )ρ(x)Xk (x)Xm(x) = 0,

                                         20

Страницы