Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

α β γ δ ϕ
0
ϕ
1
(0, l)
ρ, p, p
′
, q [0, l] p(x) ≥ p
0
= const > 0
ρ(x) ≥ ρ
0
= const > 0 q(x) ≥ 0 ∀x ∈ [0, l]
α, β, γ, δ ≥ 0 α + β 6= 0 γ + δ 6= 0
u(x, t) = X( x)T (t).
ρ(x)X(x)T
′′
(t) = T (t)[p(x)X
′
(x)]
′
− q(x)X(x)T (t),
[p(x)X
′
(x)]
′
− q(x)X(x)
ρ(x)X(x)
=
T
′′
(t)
T (t)
.
x
t
λ
T X
T
′′
(t) + λT (t) = 0,
[p(x)X
′
(x)]
′
+ [λρ(x) − q( x)]X(x) = 0.
X
αX(0) − βX
′
(0) = 0, γX(l) + δX
′
(l) = 0.
λ
λ
Çäåñü α, β , γ è δ  íåêîòîðûå êîíñòàíòû, ϕ0 è ϕ1  çàäàííûå íà (0, l)
íà÷àëüíûå óíêöèè. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
   (i) óíêöèè ρ, p, p′, q íåïðåðûâíû íà [0, l] è p(x) ≥ p0 = const > 0,
ρ(x) ≥ ρ0 = const > 0, q(x) ≥ 0 ∀x ∈ [0, l];
   (ii) α, β, γ, δ ≥ 0 è α + β 6= 0, γ + δ 6= 0.
   Èç ðåçóëüòàòî⠟ 1 ãë. 2 âûòåêàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) (2.1)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå îäíîìåðíûå
âîëíîâûå ïðîöåññû â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ.
   Ïðèìåíèì äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.1)(2.3)
ìåòîä Ôóðüå. Ñëåäóÿ åìó, áóäåì èñêàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.1),
óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2), â âèäå

                            u(x, t) = X(x)T (t).                     (2.4)

Ïîäñòàâëÿÿ (2.4) â óðàâíåíèå (2.1), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå

            ρ(x)X(x)T ′′(t) = T (t)[p(x)X ′(x)]′ − q(x)X(x)T (t),
êîòîðîå ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïðèíèìàåò âèä
                     [p(x)X ′(x)]′ − q(x)X(x) T ′′ (t)
                                             =         .             (2.5)
                             ρ(x)X(x)          T (t)
Ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (2.5) çàâèñèò òîëüêî îò x, à ïðàâàÿ ÷àñòü  òîëüêî
îò t. Ïîýòîìó ýòî ðàâåíñòâî âîçìîæíî ëèøü òîãäà, êîãäà êàæäàÿ èç ýòèõ
÷àñòåé ðàâíà êîíñòàíòå. Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç  λ. Òîãäà èç (2.5) ïðèõîäèì
ê ñëåäóþùèì äâóì îáûêíîâåííûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì îòíî-
ñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ óíêöèé T è X :

                            T ′′ (t) + λT (t) = 0,                   (2.6)

                  [p(x)X ′(x)]′ + [λρ(x) − q(x)]X(x) = 0.            (2.7)
   ×òîáû ïîëó÷èòü íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.1) âèäà (2.4),
óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2), íåîáõîäèìî, ÷òîáû óíêöèÿ
X óäîâëåòâîðÿëà ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
                αX(0) − βX ′ (0) = 0, γX(l) + δX ′ (l) = 0.          (2.8)

 ðåçóëüòàòå ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé çàäà÷å, íàçûâàåìîé ñïåêòðàëü-
íîé çàäà÷åé, ëèáî çàäà÷åé Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ: íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ ïà-
ðàìåòðà λ, ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóþò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
(2.7), óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.8). Òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåò-
ðà λ, ïðè êîòîðûõ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à (2.7), (2.8) èìååò íåòðèâèàëüíûå
ðåøåíèÿ, íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, à ñàìè ýòè ðåøåíèÿ 

                                     19

Страницы