ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Ω S
S
S
S
S
ρ(x)
∂
2
u
∂t
2
=
∂
∂x
p(x)
∂u
∂x
− q(x)u ≡ p(x)
∂
2
u
∂x
2
+ p
′
(x)
∂u
∂x
− q(x)u
Q
T
.
ρ, p q [0, l] Q
T
= (0, l)×(0, T ] 0 <
T < ∞
αu(0, t) −β
∂u(0, t)
∂x
= 0, γu(l, t) + δ
∂u(l, t)
∂x
= 0, t ∈ (0, T ]
u |
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
|
t=0
= ϕ
1
(x), x ∈ (0, l).
äîëæíî èìåòü ïåðåìåííûå êîýèöèåíòû ñïåöèàëüíîé ñòðóêòóðû (ñì., íà- ïðèìåð, 2 è 3), à ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíà çàâèñèò îò âèäà ðàññìàòðèâàåìîé ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè.  ÷àñòíîñòè, ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â òðåõìåð- íîì âîëíîâîì óðàâíåíèè (ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè), ðàññìàòðèâàå- ìîì â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ñ êðèâîëèíåéíîé ãðàíèöåé S , âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàíèöà S ñîâïàäàåò ñ êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíîñòüþ îäíîé èç 11 ñèñòåì êîîðäèíàò. Ê ÷èñëó òàêèõ ïîâåðõíîñòåé îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, öèëèíäð, ñåðà, ýëëèïñîèä è ñåðîèä (ò. å. ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ). Îòìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà Ôóðüå â òàêèõ ñëó÷àÿõ âîëíîâîå óðàâíåíèå íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü íå â äåêàðòîâûõ, à â êðèâî- ëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, â êîòîðûõ ãðàíèöà S ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíîñòüþ; ò. å. â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, åñëè S öèëèíäð, ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, åñëè S ñåðà è ò. ä. Ïîñëåäóþùåå ïðèìåíåíèå ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ê òàêèì óðàâíåíèÿì ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè ñïåöèàëüíîé ñòðóêòóðû, èìåþùèìè îñîáåííîñòè â îäíîé èëè íåñêîëüêèõ òî÷êàõ. Óêà- çàííûå ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ ñïåöèàëüíûìè óíêöèÿìè ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Äâà ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ ñïåöèàëüíûõ óíêöèé, à èìåííî, öè- ëèíäðè÷åñêèõ óíêöèé Áåññåëÿ, Õàíêåëÿ è ñåðè÷åñêèõ óíêöèé Õàíêå- ëÿ ïðè ðåøåíèè âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â êðóãå ëèáî âî âíåøíîñòè ñåðû, áóäóò ïðèâåäåíû ñîîòâåòñòâåííî â 3 è 4 ýòîé ãëàâû. Äåòàëüíîå îïèñà- íèå ñâîéñòâ ñïåöèàëüíûõ óíêöèé è ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [37, 56℄. 2. Îäíîìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè 2.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ôóðüå. àññìîòðèì îäíîìåðíîå (ãèïåðáîëè÷åñêîå) âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïåðåìåííûìè êîý- èöèåíòàìè ∂ 2u ∂ 2u ∂ ∂u ∂u ρ(x) 2 = p(x) − q(x)u ≡ p(x) 2 + p′ (x) − q(x)u â QT . (2.1) ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x Çäåñü ρ, p è q çàäàííûå íà èíòåðâàëå [0, l] óíêöèè, QT = (0, l)×(0, T ], 0 < T < ∞. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1), óäîâëåòâîðÿþùåå îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ∂u(0, t) ∂u(l, t) αu(0, t) − β = 0, γu(l, t) + δ = 0, t ∈ (0, T ] (2.2) ∂x ∂x è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ∂u u |t=0= ϕ0(x), |t=0 = ϕ1(x), x ∈ (0, l). (2.3) ∂t 18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »