Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω S
S
S
S
S
ρ(x)
∂
2
u
∂t
2
=
∂
∂x
p(x)
∂u
∂x
− q(x)u ≡ p(x)
∂
2
u
∂x
2
+ p
′
(x)
∂u
∂x
− q(x)u
Q
T
.
ρ, p q [0, l] Q
T
= (0, l)×(0, T ] 0 <
T < ∞
αu(0, t) −β
∂u(0, t)
∂x
= 0, γu(l, t) + δ
∂u(l, t)
∂x
= 0, t ∈ (0, T ]
u |
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
|
t=0
= ϕ
1
(x), x ∈ (0, l).
äîëæíî èìåòü ïåðåìåííûå êîýèöèåíòû ñïåöèàëüíîé ñòðóêòóðû (ñì., íà-
ïðèìåð, Ÿ 2 è 3), à ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíà çàâèñèò îò âèäà ðàññìàòðèâàåìîé
ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè.  ÷àñòíîñòè, ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â òðåõìåð-
íîì âîëíîâîì óðàâíåíèè (ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè), ðàññìàòðèâàå-
ìîì â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ñ êðèâîëèíåéíîé ãðàíèöåé S , âîçìîæíî ëèøü â
òîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàíèöà S ñîâïàäàåò ñ êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíîñòüþ îäíîé
èç 11 ñèñòåì êîîðäèíàò. Ê ÷èñëó òàêèõ ïîâåðõíîñòåé îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð,
öèëèíäð, ñåðà, ýëëèïñîèä è ñåðîèä (ò. å. ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ).
   Îòìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà Ôóðüå â òàêèõ ñëó÷àÿõ
âîëíîâîå óðàâíåíèå íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü íå â äåêàðòîâûõ, à â êðèâî-
ëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, â êîòîðûõ ãðàíèöà S ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùåé
êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíîñòüþ; ò. å. â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, åñëè S
 öèëèíäð, ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, åñëè S  ñåðà è ò. ä. Ïîñëåäóþùåå
ïðèìåíåíèå ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ê òàêèì óðàâíåíèÿì ïðèâîäèò
ê íåîáõîäèìîñòè íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè ñïåöèàëüíîé
ñòðóêòóðû, èìåþùèìè îñîáåííîñòè â îäíîé èëè íåñêîëüêèõ òî÷êàõ. Óêà-
çàííûå ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ ñïåöèàëüíûìè óíêöèÿìè ìàòåìàòè÷åñêîé
èçèêè. Äâà ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ ñïåöèàëüíûõ óíêöèé, à èìåííî, öè-
ëèíäðè÷åñêèõ óíêöèé Áåññåëÿ, Õàíêåëÿ è ñåðè÷åñêèõ óíêöèé Õàíêå-
ëÿ ïðè ðåøåíèè âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â êðóãå ëèáî âî âíåøíîñòè ñåðû,
áóäóò ïðèâåäåíû ñîîòâåòñòâåííî ⠟ 3 è 4 ýòîé ãëàâû. Äåòàëüíîå îïèñà-
íèå ñâîéñòâ ñïåöèàëüíûõ óíêöèé è ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [37, 56℄.
  Ÿ2. Îäíîìåðíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïåðåìåííûìè
                           êîýèöèåíòàìè

  2.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ôóðüå.           àññìîòðèì
îäíîìåðíîå (ãèïåðáîëè÷åñêîå) âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïåðåìåííûìè êîý-
èöèåíòàìè
     ∂ 2u                              ∂ 2u
                      
            ∂       ∂u                             ∂u
 ρ(x) 2 =      p(x)      − q(x)u ≡ p(x) 2 + p′ (x)    − q(x)u â QT . (2.1)
     ∂t    ∂x       ∂x                 ∂x          ∂x
Çäåñü ρ, p è q  çàäàííûå íà èíòåðâàëå [0, l] óíêöèè, QT = (0, l)×(0, T ], 0 <
T < ∞. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1), óäîâëåòâîðÿþùåå
îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
               ∂u(0, t)                   ∂u(l, t)
     αu(0, t) − β       = 0, γu(l, t) + δ          = 0, t ∈ (0, T ]       (2.2)
                 ∂x                         ∂x
è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                  ∂u
                 u |t=0= ϕ0(x),      |t=0 = ϕ1(x), x ∈ (0, l).            (2.3)
                                  ∂t
                                      18

Страницы