Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

T
k
v
t
Q
T
x t Q
T
f ∈ C
2
(Q
T
) f(0, t) = 0, f(l, t) = 0 ∀t ∈ [0, T] .
u(x, t) =
∞
X
k=1
T
k
(t)sin
kπx
l
+
∞
X
k=1
a
k
cos
kπat
l
+ b
k
sin
kπat
l
sin
kπx
l
.
T
k
a
k
b
k
f ϕ
0
ϕ
1
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f(x, t)
Q
T
,
u|
x=0
= g
1
(t), u|
x=l
= g
2
(t) (0, T ]
u|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
t=o
= ϕ
1
(x)
(0, l).
w(x, t) = g
1
(t) + [ g
2
(t) − g
1
(t)]
x
l
.
   Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ Tk â ðÿä (1.41), ïîëó÷èì óíê-
öèþ v , êîòîðàÿ ñ ó÷åòîì (1.46) è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì çàäà÷è (1.35)
(1.37) ïðè åñòåñòâåííîì óñëîâèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (1.41) è ðÿ-
äà, ïîëó÷åííîãî ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì (1.41) ïî t, â çàìêíóòîé
îáëàñòè QT , à ðÿäîâ, ïîëó÷åííûõ äâóêðàòíûì ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðî-
âàíèåì ðÿäà (1.41) ïî x è t, â îáëàñòè QT . Ìîæíî ïîêàçàòü, ðàññóæäàÿ ïî
òîé æå ñõåìå, ÷òî è â òåîðåìå 1.1, ÷òî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ ðÿäîâ áóäåò îáåñïå÷åíà, åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
             f ∈ C 2(QT ) è f (0, t) = 0, f (l, t) = 0 ∀t ∈ [0, T ].    (1.49)
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ðåøåíèå èñ-
õîäíîé çàäà÷è (1.31)(1.33) èìååò âèä
            ∞                 ∞                            
            X           kπx X            kπat          kπat       kπx
  u(x, t) =   Tk (t)sin    +      ak cos      + bk sin        sin     . (1.50)
                         l                 l             l         l
           k=1                 k=1

Çäåñü óíêöèè Tk îïðåäåëÿþòñÿ èç (1.48), à êîýèöèåíòû ak è bk îïðåäå-
ëÿþòñÿ îðìóëàìè (1.17). Ôèçè÷åñêèé àíàëèç ðåøåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî òîé
æå ñõåìå, ÷òî è â ï. 1.3, è ìû íà íåì íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ.
  1.5. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû ñ ïîäâèæíûìè êîíöàìè.
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïàðàãðàà ðàññìîòðèì îáùóþ çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè
âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îäíîðîäíîé ñòðóíû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ èñ-
òî÷íèêîâ ñ ïëîòíîñòüþ f è íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèé ϕ0 è ϕ1 â ïðåäëîæåíèè,
÷òî êîíöû ñòðóíû íå çàêðåïëåíû, à äâèæóòñÿ ïî çàäàííîìó çàêîíó. Óêà-
çàííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî âîëíîâîãî
óðàâíåíèÿ
                     ∂ 2u      2
                             2∂ u
                          =a      + f (x, t) â QT ,             (1.51)
                      ∂t2     ∂x2
óäîâëåòâîðÿþùåãî íåîäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
                   u|x=0 = g1 (t), u|x=l = g2 (t) â (0, T ]             (1.52)
è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
                                     ∂u
                 u|t=0 = ϕ0(x),                 = ϕ1(x) â (0, l).       (1.53)
                                     ∂t   t=o

   Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.51)(1.53) ñâåäåì åå ñ ïîìîùüþ çà-
ìåíû çàâèñèìîé ïåðåìåííîé ê çàäà÷å ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè,
à äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ èçëîæåííûì â ï. 1.4 ìåòîäîì ðåøåíèÿ ïîñëåäíåé. Ñ
ýòîé öåëüþ ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ óíêöèþ
                                                         x
                      w(x, t) = g1 (t) + [g2(t) − g1 (t)] .             (1.54)
                                                         l
                                          16

Страницы